「連結空間」の版間の差分

pathについて
(→‎定義: 非連結の定義が、連結の定義として書かれていた(誤った内容)ので訂正しました。)
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(pathについて)
 
位相空間 ''X'' に対し、以下の条件は同値である. ただし <math>\mathcal{C}</math> は''X''の閉集合系とする:
 
 
#''X'' は連結である。
== 弧状連結 ==
[[Image:Path-connected space.svg|thumb|200px|left|平面上の弧状連結集合:任意の二点を弧で結ぶことができる]]
位相空間 ''X'' はその任意の点 ''a'' , ''b'' を結ぶ道をとることができるとき'''弧状連結'''(こじょうれんけつ、<em lang="en">path-connected</em>)または'''道連結'''(みちれんけつ)であるという{{sfn|コスニオフスキ|1983|p=99}}
ここで始点 ''a'', と終点 ''b'' を結ぶ'''[[ (位相幾何学)|道]]'''<ref>これが([[#弧連結]]での用法とは異なり)弧と呼ばれることもある {{harv|コスニオフスキ|1983|p=98}}。</ref> <span lang="en">(path)</span> とは、''f''(0) = ''a'' かつ ''f''(1) = ''b'' を満たす、単位閉区間 [0, 1] から ''X'' への[[連続写像]] ''f'' のことである{{sfn|コスニオフスキ|1983|p=98}}。(これは「パラメータ付けられた曲線」であって、単なる点の集合ではないことに注意を要する。
 
弧状連結な位相空間は常に連結である。また、[[長い直線|アレクサンドロフの長い直線]]とよばれる、非可算無限個の単位半開区間の直積空間の一点コンパクト化や sin(1/''x'') のグラフに原点を加えたもの(<span lang="en">topologist's sine curve;</span> [[位相幾何学者の正弦曲線]])は連結だが弧状連結でない位相空間の例として挙げることができる。