「ルベーグの微分定理」の版間の差分
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冒頭はこうだと思う |
→証明: 厳密にはルベーグ点であることの証明ではないためステートメントで「ルベーグ点」の語を避けました。 |
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==証明==
[[ハーディ＝リトルウッドの極大函数]]に対する[[Lp空間|弱 ''L''<sup>1</sup>
:
::<math>\lim_{B \rightarrow x} \frac{1}{|B|} \int_{B}f(y) \, \mathrm{d}y \rightarrow
f(x)</math>
:が成り立つ。
を示すことができる。以下の証明は {{harvtxt|Benedetto|Czaja|2009}}, {{harvtxt |Stein|Shakarchi|2005}}, {{harvtxt |Wheeden|Zygmund|1977}}, {{harvtxt|Rudin|1987}} に見られる標準的な方法に従ったものである。
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が測度 0 であることを示せば十分である。
''ε'' > 0 を任意にとって固定する。空間 [[Lp空間|''L''<sup>1</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>)]] における[[コンパクト空間|コンパクト]][[関数の台|台]]な[[連続写像|連続関数]]の[[稠密集合|稠密性]]より、
:<math>\|f - g\|_{L^1} = \int_{\mathbf{R}^n} |f(x) - g(x)| \, \mathrm{d}x < \varepsilon</math>
を満たす
:<math> \frac{1}{|B|} \int_B f(y) \, \mathrm{d}y - f(x) = \Bigl(\frac{1}{|B|} \int_B \bigl(f(y) - g(y)\bigr) \, \mathrm{d}y \Bigr) + \Bigl(\frac{1}{|B|}\int_B g(y) \, \mathrm{d}y - g(x) \Bigr)+ \bigl(g(x) - f(x)\bigr).</math>
第1項は、次で定義される ''x'' における ''f'' − ''g'' の極大関数 <math>(f-g)^*(x)</math> で絶対値が上から抑えられる。
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