「コーシー＝シュワルツの不等式」の版間の差分

''x'' や ''y'' が[[実数|実]]または[[複素数|複素]][[内積空間]] {{<math|>(''X'',\langle {{bra-ket|&bull;|&bull;}}\cdot,\cdot\rangle)}}</math> の元であるとき、シュワルツの不等式は次のように述べられる：

左辺は内積 {{bra-ket|''x''|''y''}} の[[絶対値]]の平方である。ここに、等号は ''x'' と ''y'' が[[線型従属]]であるとき、つまり ''x'', ''y'' のいずれか一方が 0 であるか、さもなくば一方が他方の適当なスカラー倍であるときであり、かつそのときに限る。内積の導くノルム {{norm<math>\|''x''}}^{\|^2} :=\langle {{bra-ket|''x''|'',x''}}\rangle</math> を用いればこれは

コーシー・シュワルツの不等式の重要な帰結には、内積が2変数の関数と見て[[連続関数|連続]]であるということ、従って特にひとつのベクトル ''x'' を決めるごとに内積が一つの連続汎関数 {{bra-ket|''<math>\langle x''|&bull;}},\cdot\rangle</math> あるいは {{bra-ket|&bull;|''<math>\langle \cdot,x''}}\rangle</math> を定めるということである。さらに、ベクトル ''x'' に対して汎関数 ''x''<supmath>x^*</sup>: ''\colon y'' &rarr;\mapsto \langle {{bra-ket|''y''|'',x''}} \rangle</math>を与える対応が等長作用素になっていることも従う。