「コーシー=シュワルツの不等式」の版間の差分

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== 定理の内容といくつかの事実 ==
''x'' や ''y'' が[[実数|実]]または[[複素数|複素]][[内積空間]] {{<math|>(''X'',\langle {{bra-ket|&bull;|&bull;}}\cdot,\cdot\rangle)}}</math> の元であるとき、シュワルツの不等式は次のように述べられる:
:<math>|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.</math>
左辺は内積 {{bra-ket|''x''|''y''}} の[[絶対値]]の平方である。ここに、等号は ''x'' と ''y'' が[[線型従属]]であるとき、つまり ''x'', ''y'' のいずれか一方が 0 であるか、さもなくば一方が他方の適当なスカラー倍であるときであり、かつそのときに限る。内積の導くノルム {{norm<math>\|''x''}}<sup>\|^2</sup> :=\langle {{bra-ket|''x''|'',x''}}\rangle</math> を用いればこれは
: <math>|\langle x, y \rangle| \leq \Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert</math>
とも表せる。
 
コーシー・シュワルツの不等式の重要な帰結には、内積が2変数の関数と見て[[連続関数|連続]]であるということ、従って特にひとつのベクトル ''x'' を決めるごとに内積が一つの連続汎関数 {{bra-ket|''<math>\langle x''|&bull;}},\cdot\rangle</math> あるいは {{bra-ket|&bull;|''<math>\langle \cdot,x''}}\rangle</math> を定めるということである。さらに、ベクトル ''x'' に対して汎関数 ''x''<supmath>x^*</sup>: ''\colon y'' &rarr;\mapsto \langle {{bra-ket|''y''|'',x''}} \rangle</math>を与える対応が等長作用素になっていることも従う。
 
また、この定理の系として[[内積空間|内積ノルム]]に関する[[三角不等式]]
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