「ブラ-ケット記法」の版間の差分

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この名称は、2つの状態の[[内積]]が[[括弧#山括弧〈〉|'''ブラケット''']]を用いて {{math|{{bra-ket|''&phi;''|''&psi;''}}}} のように表され、この左半分 {{math|{{bra|''&phi;''}}}} を'''ブラ'''[[ベクトル空間|ベクトル]]、右半分 {{math|{{ket|''&psi;''}}}} を'''ケット'''ベクトルと呼ぶことによる。この記法は[[ポール・ディラック]]が発明したため、'''ディラックの記法'''とも呼ぶ。
 
ブラの[[随伴作用素|随伴]]はケット、ケットの[[随伴作用素|随伴]]はブラである。
 
:<math>\langle \psi |^{\dagger} = | \psi \rangle, | \psi \rangle^{\dagger} = \langle \psi |</math>
 
また、ある状態 <math>| \psi \rangle</math> において、[[可観測量]] <math>\hat{O}</math> の期待値 <math>\langle O \rangle</math>は演算子をブラとケットで挟んだものである。
 
:<math>\langle\alpha|\beta O \rangle = \delta_{langle \alphapsi | \betahat{O} | \psi \rangle</math>
 
== 正規直交基底とブラケット記法 ==
[[正規直交系|正規直交基底]]のうち2つのラベルを {{Mvar|&alpha;, &beta;}} として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底では[[クロネッカーのデルタ]]を用いて
 
:<math>\langle\alpha|\beta\rangle=\delta_{\alpha\beta}</math>
:<math>\sum_langle\alpha|\alphabeta\rangle = \langledelta_{\alpha|=1, \beta}</math>
となる<ref>基底が連続的な場合は、[[クロネッカーのデルタ]] {{mvar|&delta;{{sub|&alpha;&beta;}}}} を[[ディラックのデルタ関数]] {{math|''&delta;''(''&alpha;'' &minus; ''&beta;'')}} に置き換える。</ref>。
 
連続基底では[[デルタ関数]]を用いて
 
:<math>\langle\alpha|\beta\rangle = \delta (\alpha - \beta)</math>
 
となる。
 
また正規直交基底の[[完全系|完全性]]は離散基底、連続基底でそれぞれ
:<math>\begin{align}
:<math>\sum_\alpha|\alpha\rangle\langle\alpha|=1</math>
\sum_\alpha|\alpha\rangle\langle\alpha| &= 1, \\
と表現される<ref>基底が連続的な場合は、[[総和]] {{math|{{sum|b=''&alpha;''|style=d}}}} を[[積分]] {{math|&int;d''&alpha;''}} に置き換える。</ref>。
\int \mathrm{d} \alpha ~ |\alpha\rangle\langle\alpha| &= 1
\end{align}</math>
と表現される。
 
== 第二量子化とブラケット記法 ==