「可算集合」の版間の差分

{{出典の明記|date=2015年10月}}

 

[[有限集合]]も、数え上げることができる集合という意味で、可算集合の一種とみなすことがある。そのため、はっきりと区別を付ける必要がある場合には、冒頭の意味での集合を'''可算無限集合''' (countably infinite set) と呼び、可算無限集合と有限集合を合わせて'''高々可算''' (at most countable) の集合と呼ぶ。可算でない無限集合を'''[[非可算集合]]''' (uncountabe set) という。非可算集合は可算集合よりも「多く」の元を持ち、全ての元に番号を付けることができない。そのような集合の存在は、[[ゲオルク・カントール|カントール]]によって初めて示された。

== 例と性質 ==

[[無限集合]]においては、その真部分集合と濃度が等しいことがあり得る。例えば、[[偶数]]の自然数全体の集合 2'''N''' は '''N''' との間に次の全単射が存在する。

よって、2'''N''' は可算集合である。また、[[整数]]全体の集合 '''Z''' や[[有理数]]全体の集合 '''Q''' も可算である。しかし、[[実数]]全体の集合 '''R''' は非可算である。この事実は[[カントールの対角線論法]]によって示される。'''R''' の濃度は'''[[連続体濃度]]'''と呼ばれ、<math>\aleph</math> または <math>\mathfrak{c}</math> で表される。

 

可算個の可算集合の[[合併 (集合論)|和集合]]や、有限個の可算集合の[[直積集合]]はまた可算である。これより、[[代数的数]]全体の集合 <span style="text-decoration:overline">'''Q'''</span> は可算であることが従う。しかし、可算個の可算集合の直積集合や、可算集合の[[冪集合]]は非可算であり、その濃度は連続体濃度である。

 

 

:<math>2^{\aleph_0} \le \aleph_0^{\aleph_0} \le (2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}</math>