「モニック多項式」の版間の差分

rv: 誤訳ではない(多項式pの根は方程式p=0の解とほぼ同じ意味)
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(rv: 誤訳ではない(多項式pの根は方程式p=0の解とほぼ同じ意味))
 
モニック多項式に付随する[[多項式方程式]]の性質は、係数環 {{mvar|A}} に極めて依存する。
* {{mvar|A}} が[[可換体|体]]ならば、任意の非零多項式 {{mvar|p}} はちょうど一つの[[同伴元|同伴]]モニック多項式 {{mvar|q}} を持つ(明らかに {{mvar|q}} は {{mvar|p}} を主係数で割ったものである)。したがって、このとき任意の非自明な多項式方程式 {{math|1=''p''(''x'') = 0}} はそれと同値なモニック方程式 {{math|1=''q''(''x'') = 0}} に置き換えることができる。例えば、実二次方程式の一般形 {{math|1=''ax''{{exp|2}} + ''bx'' + c = 0 (''a'' ≠ 0)}} は <math display="block">x^2+px+q = 0\quad (p := b/a, q := c/a)</math> とすることができる。これにより、二次方程式の一般解 <math display="inlineblock">x = \dfracfrac{1}{2}( -p \pm \sqrt{p^2 - 4q})</math> とやや簡素な形に書くことができる。
* 他方、係数環が体でない場合には大きな違いが生じる。[[整域]]上のモニック方程式(整方程式)は[[代数的整数論]]において重要である。
 
== 定義 ==
[[不定元]](変数)を一つしか持たない[[多項式]](一元多項式)の場合、高次から低次へ(「降冪」("descending powers"))の順か、低次から高次へ(「昇冪」("ascending powers"))の順に項を書き並べるのが普通である。したがって、不定元 {{mvar|x}} に関する次数 {{mvar|n}} の一元多項式は、その一般形<math display="block">c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+c_2x^2+c_1x+c_0</math> の形に書くことができる。ただし {{math| ''c{{sub|n}}'' ≠ 0, ''c''{{sub|''n''&minus;1}}, …, ''c''{{sub|2}}, ''c''{{sub|1}}, ''c''{{sub|0}}}} はこの多項式の係数と呼ばれる定数である。ここに、項 {{math|''c{{sub|n}}''&sdot;''x{{exp|n}}''}} は最高次項または'''主項''' (''leading term'') と呼び、その係数 {{mvar|c{{sub|n}}}} は最高次係数または'''主係数''' (''leading coefficient'') と言う。
; 定義: (一変数)多項式は、その主係数が {{math|1}} に等しいとき、'''モニック''' (''monic''; '''{{nowrap|主係数 {{math|1}}}}''') であると言う。
すなわちモニックな多項式は <math display="block">x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+c_2x^2+c_1x+c_0\quad (\exists n\in\mathbb{N};\;x:\text{ variable, }c_i:\text{ constants})</math> の形に書ける。
 
== 整性 ==
[[整数]]係数モニック方程式は整数解以外の[[有理数]]解を持たない。つまり、モニックでない方程式 {{math|1=2''x''{{exp|2}} + 3''x'' + 1 = 0}} は整数でない有理数解を持ち得る(これはたまたま有理数解、なかんずく {{math|&minus;1/2}} を根に持つ)が、{{math|1=''x''{{exp|2}} + 5''x'' + 6 = 0}} や {{math|1=''x''{{exp|2}} + 7''x'' + 8 = 0}} は整数解かさもなくば[[無理数]]{{efn|ここでは有理数でない複素数の意味で言う}}解しか持ち得ないということである。整数係数モニック方程多項式の根は[[代数的整数]]と呼ばれる。
 
[[代数的整数論]]において、[[整域]]上のモニック多項式方程式の解は[[整拡大]]および[[整閉整域]]の理論を考えるうえで重要である。一般に、{{mvar|A}} は整域で、別の整域 {{mvar|B}} の部分環と仮定するとき、部分集合 {{mvar|''C'' ⊂ ''B''}} を {{mvar|A}} 上のモニック方程式を満足する {{mvar|B}} の元全体の成す集合 <math display="block">
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