「エネルギー・運動量テンソル」の版間の差分

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'''エネルギー・運動量テンソル'''(エネルギー・うんどうりょうテンソル、stress-energy tensor (stress-energy-momentum tensor) )とは、質量密度・エネルギー流束・運動量を表現する[[物理量]]であり、二階の[[テンソル]] <math>T^{\mu\nu}\,</math> として表現される。[[一般相対性理論]]における[[アインシュタイン方程式]]では、物質分布を示す右辺の項として登場し、[[重力]]を生じさせる源(source term)としての意味を持つ。アインシュタイン方程式で、[[真空]]な状況を考える時は、 <math>T^{\mu\nu}=0\,</math> とすればよい。
'''エネルギー・運動量テンソル'''とは、二階の[[テンソル]] T<sup>&mu;&nu;</sup>であり、
 
:<math> T^{\mu\nu} = (\rho + p) u^\mu u^\nu - g^{\mu\nu}p\,</math>
Tエネルギー・運動量テンソル <supmath>&T^{\mu;&\nu;}\,</supmath> 定義から明らかに対称テンソルである。
で定義される[[物理量]]である。ここで、&rho; は質量分布である。
以下では、時間座標を0成分とし、空間座標を1,2,3成分とする添字を使い、[[計量]](metric)の符号は<math>(-,+,+,+)\,</math>とする。また、[[アインシュタインの縮約記法]]を用いる。
 
共変微分をもちいて
<math>T^{\mu\nu}{}_{;\mu}=0\,</math>
とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。
 
T<sup>&mu;&nu;</sup>は定義から明らかに対称テンソルである。
 
エネルギー・運動量テンソルは[[アインシュタイン方程式]]に現れ、[[重力]]を生じる原因である。
 
== 各成分の意味 ==
エネルギー・運動量テンソルの時間成分、即ち T<sup>00</sup> は、エネルギー密度である。
 
時間-空間成分、即ち T<sup>0j</sup> は、x<sup>j</sup>の方向へのエネルギーの流れである。
 
*時間-時間成分、即ち T<supmath>i0T^{00}\,</supmath> は、i-成分の運動量エネルギー密度である。
*時間-空間成分、即ち T<supmath>T^{0j}\,</supmath> は、x<supmath>x^j\,</supmath>の方向へのエネルギーの流れである。
*間-時間成分、即ち T<supmath>ijT^{i0}\,</supmath> は、x<sup>j</sup>の方向への i-成分の運動量の流れ密度である。
*空間成分、即ち <math>T^{ij}\,</math> は、<math>x^j\,</math>の方向への i-成分の運動量の流れである。
 
== 完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル ==
空間成分、即ち T<sup>ij</sup> は、x<sup>j</sup>の方向への i-成分の運動量の流れである。
物質分布が完全流体近似できるならば、次のように仮定することができる。
:<math> T^{\mu\nu} = (\rho + p) u^\mu u^\nu - g^{\mu\nu}p\,</math>
<math>\rho, p, u^\mu\,</math> は、それぞれ質量密度・圧力・観測者の4元速度ベクトル(共動座標系ならば、<math>u^\mu=(1,0,0,0)\,</math>)である。
 
== 電磁場のエネルギー・運動量テンソル ==
:<math>T^{\mu\nu} = \varepsilon_0 c^2 (F^{\mu\lambda} {F^{\nu}}_{\lambda} - \frac{1}{4}g^{\mu\nu} F^{\kappa\lambda} F_{\kappa\lambda}) </math>
 
T<supmath>T^{00}\,</supmath> は[[エネルギー密度]]、T<supmath>T^{0j}\,</supmath> 及びT<supmath>T^{i0}\,</supmath> は[[ポインティング・ベクトル]]、T<supmath>F^{ij}\,</supmath> は[[マクスウェルの応力テンソル]]である。
 
== 関連語句 ==
*[[一般相対性理論]] - [[アインシュタイン方程式]]
 
 
{{Physics-stub[[category:相対性理論|えねるきうんとうりようてんそる}}]]
 
[[en:Stress_energy_tensor]]
{{Physics-stub|えねるきうんとうりようてんそる}}
{{Physics-stub}}
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