「稠密集合」の版間の差分
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== 厳密な定義 ==
[[位相空間]] ''X'' の部分集合 ''A'' が ''X'' において'''稠密'''であるとは、''X'' の各元 ''x'' に対し、''x'' の任意の[[近傍 (数学)|近傍]]が ''A'' の元を少なくとも一つ含むことをいう。同じことだが、''A'' が ''X'' において稠密であるのは、''A'' を含む ''X'' の[[閉集合]]が ''X'' 自身しかないときであり、かつそのときに限る。これは ''A'' の[[閉包 (位相空間論)|閉包]] <span style="text-decoration: overline;">''A''</span> が ''X'' に一致すると言ってもよい。あるいは、''A'' の補集合の[[内部 (位相空間論)|内部]]が空であるともいえる。
位相空間 ''X'' の'''稠密度''' {{lang|en|(''density'')}} とは、''X'' の稠密部分集合の最小[[濃度 (数学)|濃度]]をいう。
== 距離空間における稠密性 ==
[[距離空間]]の稠密集合には、別な定義の仕方もある。''X'' の位相が距離によって誘導されるものであるとき、''X'' の部分集合 ''A'' の[[閉包 (
:<math>\overline{A} = A \cup \{\ \lim_n a_n;\ a_n \in A\ \ \forall\ n \ge 0\ \}</math>
で与えられる。このとき、''A'' が ''X'' において'''稠密'''であるとは <span style="text-decoration: overline;">''A''</span> = ''X'' を満たすことを言う。ここで、
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{{脚注ヘルプ}}
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== 関連項目 ==▼
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*[[疎集合]]▼
*[[稠密関係]]（特に、稠密順序）▼
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== 参考文献 ==
{{refbegin}}
* {{Citation |author=Nicolas Bourbaki |authorlink=Nicolas Bourbaki |title=General Topology, Chapters 1–4 |series=Elements of Mathematics |year=2008 |origyear=1971 |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=978-3-540-64241-1}}
**{{Cite book|和書|origyear=1968|year=1984|title=位相 1|others=[[森毅]]・[[清水達雄]] 訳|series=[[数学原論|ブルバキ数学原論]]
**{{Cite book|和書|origyear=1968|year=1984||title=位相 2|others=[[土川真夫]]・[[村田全]] 訳|series=ブルバキ数学原論
* {{Citation | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=:en:Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=:en:J. Arthur Seebach, Jr. | title=Counterexamples in Topology | origyear=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | mr=507446 | year=1995}}
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▲== 関連項目 ==
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▲*[[疎集合]]
▲*[[稠密関係]]（特に、稠密順序）
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== 外部リンク ==
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