「配置集合」の版間の差分

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[[数学]]の[[集合論]]における'''配置集合'''{{sfn|ブルバキ|1968|p=10|loc=§2, 2}}(はいちしゅうごう、{{lang-de-short|''Belegungsmenge''}})あるいは集合の冪(べき、{{lang-fr-short|''exponentiation ensembliste''}}){{efn|{{harvtxt|ブルバキ|1968|p=28|loc=§4, 9 [訳注] }}「原文では,配置集合を作ることを «巾(=累乗,exponentiation)» とよんでいるが,わが国の慣行では,部分集合の全体 {{math|𝔓(E)}} のことを «巾集合(英 power-set,独 Potenzmenge)» とよび,Belegungsmenge というドイツ語からの訳語 «配置集合» を {{math|E{{sup|I}}}} にあてる習慣があるので,ここでもそれにしたがった.」{{sfn|ブルバキ|1968|p=28|loc=§4, 9}}}}は、二つの[[集合]] {{mvar|E, F}} に対する[[二項演算|演算]]で、{{mvar|E}} から {{mvar|F}} への'''写像全体の集合'''{{sfn|ブルバキ|1968|p=10|loc=§2, 2}}を割り当てるものである。この集合は {{math|ℱ(''E'', ''F'')}}{{sfn|ブルバキ|1968|p=10|loc=§2, 2}} や {{mvar|F{{exp|E}}}} などと書かれる{{sfn|Halmos|1960}}。これはまた、{{mvar|E}} で添字付けられた {{mvar|F}} の[[元 (数学)|元]]の[[族 (数学)|族]]の全体 <math display="block">F^E=\prod_{e\in E} F = \{(x_e)_{e\in E}\mid x_e\in F\}</math>とも一致する{{sfn|ブルバキ|1968|p=28|loc=§4, 9}}。
 
== 例 ==
 
== 歴史 ==
こんにち配置集合と呼ばれる構成を導入したのは[[ゲオルク・カントール]]である<ref name=Cantor>{{Harvnbsfn|Cantor|1895|pploc=481-496§4}}</ref>。カントールが {{de|"{{仮リンク|割り当て (集合論)|de|Belegung (Mathematik)|label=Belegung}}"}}{{efn|直訳すれば「割り当て」({{ill2|割り当て (数理論理学)|en|Assignment (mathematical logic)|label=assignment}})。}} と呼んだ「{{mvar|N}} の元に対する {{mvar|M}} に値をとる'''配置'''」({{lang-en-short|"covering"}}<ref name="Dauben">{{Harvnbsfn|Dauben|1990|p={{google books quote| id=n3t4b6GUlhAC|page=174|text=Belegungsmenge|174}}}}</ref>, {{lang-fr-short|« recouvrement »}}{{efn|直訳すれば「被覆」だが、[[集合の被覆]]と混同してはならない。}})とは、「{{mvar|N}} の各元 {{mvar|n}} に {{mvar|M}} の定まった元を割り当てる規則であって、{{mvar|M}} の元は繰り返し用いてよい<ref name="{{sfn|Cantor"/><ref name|1895|p="487}}{{sfn|Dauben"/>|1990|p={{google books quote| id=n3t4b6GUlhAC|page=174|text=Belegungsmenge|174}}}}」というもので、そのような規則は今日われわれが {{mvar|N}} から {{mvar|M}} への[[写像]]と呼んでいるものに他ならない。{{mvar|N}} における個々の配置を、規則 {{mvar|f}} を明示して {{math|''f''(''N'')}} と書くことにすれば、すべての {{math|''f''(''N'')}} を元とする集合{{efn|&mdash;すなわち {{mvar|M}} に値をとる {{mvar|N}} の相異なる配置全体の成す集合。}}&mdash; を「{{mvar|N}} の {{mvar|M}} による配置集合」と呼び、カントールはこれを {{math|1=(''N''{{!}}''M'')}} で表した&mdash;すなわち {{math|1=(''N''{{!}}''M'') = {{mset|''f''(''N'')}}}}<ref name="{{sfn|Cantor"/><ref name|1895|p="487}}{{sfn|Dauben"/>|1990|p={{google books quote| id=n3t4b6GUlhAC|page=174|text=Belegungsmenge|174}}}}
 
== 注 ==
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=== 注釈 ===
{{notelist}}
* {{cite book|和書|first=ニコラ|last=ブルバキ|authorlink=ニコラ・ブルバキ|series=[[数学原論|ブルバキ数学原論]] 4|title=集合論 要約|publisher=東京書籍|translator=前原昭二|year=1968|isbn=978-4-489-00104-8|ref=harv}}
*{{Cite journal|last=Cantor|first=Georg|year=1895|title=Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre|journal=Mathematische Annalen|issue=XLVI|pages=481-496|publisher=Teubner|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0046?tify=%7B%22pages%22:%5B499%5D,%22view%22:%22info%22%7D|ref=harv}}
**{{citation|firtfirst=Georg |last=Cantor |url=http://www.bibnum.education.fr/math%C3%A9matiques/th%C3%A9orie-des-nombres/contributions-au-fondement-de-la-th%C3%A9orie-des-ensembles-transfinis |title=Contributions au fondement de la théorie des ensembles transfinis |chapter=§4|year= 18952012 |publisherothers= traduit et commenté par J.-P. Belna|publisher= sur [[Bibnum]].}} ([http://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/Texte-cantor-transfinis.pdf PDF])
**{{citation|firteditor=Philip E. B. Jourdain trans.|first=Georg |last=Cantor |title=Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers|series=Dover Books on Mathematic |url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/cantor1.pdf |chapter=Article I. (1895)|pages=85&ndash;136|year=1955 |origyrear=1915|publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-60045-1}}
**{{citation|firteditor=Philip E. B. Jourdain trans.|first=Georg |last=Cantor |title=Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers|chapter-url={{Google books|aagYb7FgeAMC|page=85|plainurl=yes}}|url={{Google books|aagYb7FgeAMC|Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers|page=85|plainurl=yes}} |chapter=VArticle I. (1895)|pages=85&ndash;136|year=2007 |origyear=1915|publisher=Cosimo, Inc. |isbn=978-1-60206-442-3}}
* {{citation|first=Joseph Warren |last=Dauben |title=Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite | url={{google books|n3t4b6GUlhAC |plain-url=yes}} | publisher=Princeton University Press |year= 1990| |isbn=978-0-691-02447-9 |page= {{google books quote| id=n3t4b6GUlhAC|page=174|text=Belegungsmenge|174}}}}
* {{citation|author-link= Paul Halmos|last= Halmos |first= Paul |title= Naive Set Theory |location= Princeton, NJ |publisher= D. Van Nostrand Company |year= 1960}};
**Reprint: {{citation|publisher= Springer-Verlag |location= New York |year= 1974 | isbn= 0-387-90092-6|ref={{sfnref|Halmos|1974}}}};
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