「族 (数学)」の版間の差分
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# 添字によりラベル付けされた要素の集まり。もし添字が自然数なら、点列の概念と一致する。
# 集合を要素とする集合のこと。「集合 ''X'' の部分集合の族」などはこちらに該当する。
2. の意味の族は[[集合]]と形式的にはまったく同じもので、その要素がふたたび集合であるとき、慣習としてこの語を用いる。
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==定義==
[[集合]] ''I'' から集合 ''X'' への[[写像]] ''f'' を、''I'' を'''添字集合''' (index set) とする ''X'' の要素の'''族'''という。
実際にはこれを写像というよりも ''X'' の要素の集まりとみなす。つまり ''I'' の要素を仮に ''i , j ,...'' と表せば、
上で考えた族は ''f(i) , f(j) ,...'' という ''X'' の要素の集まりであると考えるのである。添字集合 ''I'' の元を'''添字(index)'''という。このような用語を使うのは、実際には ''f(i), f(j),...'' などという記号の代わりに''x<sub>i</sub> , x<sub>j</sub> ,...'' といった添字記法を用いることが多いからである。
==例==
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:<math>f(1)=12,\,f(2)=57,\,f(3)=57</math>
というものを考え、これをもって 12, 57, 57 という自然数の集まりを表していると考えると、二つの 57 を区別することができる。
この
:<math>\{12_{(1)},57_{(2)},57_{(3)}\}</math>
などと表すことがある。
点列はこの意味の族の一つの例である。添字集合として
を ''X'' 内の'''点列'''という。点列 ''f'' のことを、通常は記号 <math>\{f(n)\}_{n=1}^\infty</math> で表す。
実際には ''f(n)'' を ''x<sub>n</sub>'' のような添字記法で表すため、 <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math>
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