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\operatorname{Ei}(z) &= \gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nn!}z^{n}=\gamma+\log{z}+z\cdot{_2F_2}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2\end{matrix};z\right]\\
\end{align}</math>
== オイラー積分表示 ==
ガウスの超幾何関数は[[オイラー積分]]で表される<ref name="hara"/><ref name="toki"/>。
:<math>F(a,b,c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\qquad(0<\real{a}<\real{c},|z|<1)</math>
これは
:<math>\begin{align}F(a,b,c;z)
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\cdot\frac{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c)}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n\\
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(c-a)(b)_n}{\Gamma(c+n)\;n!}z^n\\
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\Beta(a+n,c-a)\frac{(b)_n}{n!}z^n\\
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{0}^{1}t^{a+n-1}(1-t)^{c-a-1}dt\right)\frac{(b)_n}{n!}z^n\\
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(b)_n}{n!}(tz)^n\right)dt\\
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\\
\end{align}</math>
として導かれる。
== 超幾何定理 ==
ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示に<math>z=1</math>を代入するとガウスの超幾何定理を得る<ref name="toki"/><ref>{{MathWorld|title=Gauss's Hypergeometric Theorem|urlname=GausssHypergeometricTheorem}}</ref>。
:<math>\begin{align}F(a,b,c;1)
&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{\infty}t^{a-1}(1-t)^{c-a-b-1}dt\\
&=\frac{\Gamma(c)\Beta(a,c-a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\\
&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\qquad(\real{a}+\real{b}<\real{c},c\not\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N})\\
\end{align}</math>
となる。更に<math>a=-n</math>を代入すると{{仮リンク|ヴァンデルモンドの恒等式|en|Vandermonde's identity}}を得る<ref>{{MathWorld|title=Chu-Vandermonde Identity|urlname=Chu-VandermondeIdentity}}</ref>。
:<math>F(-n,b,c;1)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)\Gamma(c-b)}=\frac{(c-b)_n}{(c)_n}</math>
== 脚注 ==
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