「ニコロ・フォンタナ・タルタリア」の版間の差分

3{{sup|2}} + 4{{sup|2}} = 5{{sup|2}}, 10{{sup|2}} + 11{{sup|2}} + 12{{sup|2}} = 13{{sup|2}} + 14{{sup|2}}, 21{{sup|2}} + 22{{sup|2}} + 23{{sup|2}} + 24{{sup|2}} = 25{{sup|2}} + 26{{sup|2}} + 27{{sup|2}},・・と無限に続く自乗和の等式も同じ名で呼ばれる。上から ''n'' 段目の等式は ''2n'' 番目の三角数から ''2n + 1'' 個の連続数の自乗項を左辺で ''n + 1'' 個、右辺で ''n'' 個足したものである。左端は ''n{{sup|2}}'' と (2n + 1){{sup|2}} の積であり、中央は ''n'' 番目の三角数の4倍の自乗である。左端の (2n + 1){{sup|2}} は等号を挟んだ二項の自乗前の和に等しいため、 ''n{{sup|2}}'' を1から ''2n - 1'' までの連続奇数和に変形して左辺のその他の項に逆順で分配すれば、右辺の各項に等しくなる。中央の平方数を表す正方形を細長い長方形に分割し、左辺のその他の項を表す正方形の外側に必要な数だけ付加して右辺の正方形を作ることで視覚的な証明もできる。等式の値は ''n'' 番目の四角錐数の ''12n(n + 1) + 1'' 倍であり、奥行き、幅、高さ等が ''n'', ''n + 1/2 - 1/√6'', ''n + 1/2'', ''n + 1/2 + 1/√6'', ''n + 1'' の[[5次元]]超直方体の超体積の4倍に等しい。この値は1から ''n'' までの立方和（''n'' 番目の三角数の自乗）の ''16(n + 1/2)'' 倍と ''n'' 番目の四角錐数の和にも等しく、1から ''n'' までの4乗和（''n'' 番目の四角錐数の ''{3n(n + 1) - 1}/5'' 倍）の20倍と ''n'' 番目の四角錐数の5倍の和にも等しい。