「ニコロ・フォンタナ・タルタリア」の版間の差分

3{{sup|2}} + 4{{sup|2}} = 5{{sup|2}}, 10{{sup|2}} + 11{{sup|2}} + 12{{sup|2}} = 13{{sup|2}} + 14{{sup|2}}, 21{{sup|2}} + 22{{sup|2}} + 23{{sup|2}} + 24{{sup|2}} = 25{{sup|2}} + 26{{sup|2}} + 27{{sup|2}},・・と無限に続く自乗和の等式も同じ名で呼ばれる。上から ''n'' 段目の等式は ''2n'' 番目の三角数から ''2n + 1'' 個の連続数の自乗項を左辺で ''n + 1'' 個、右辺で ''n'' 個足したものである。左端は ''n{{sup|2}}'' と ''(2n + 1){{sup|2}}'' の積であり、中央は ''2n(n + 1)'' の自乗である。左端の ''(2n + 1){{sup|2}}'' は等号を挟んだ二項の自乗前の和に等しい{{refnest|group="注釈"|等号の両隣と ''(2n + 1){{sup|2}}'' は原始[[ピタゴラスの定理#ピタゴラス数|ピタゴラス数]]である。}}ため、 ''n{{sup|2}}'' を1から ''2n - 1'' までの連続奇数和に変形して左辺のその他の項に逆順で分配すれば、右辺の各項に等しくなる。これを図形的に見れば、左端の平方数が表す一辺が ''n(2n + 1)'' の正方形を長さが ''(2n + 1){{sup|2}}'' 、幅が ''n{{sup|2}}'' の長方形に変形した上で幅が1, 3, 5,・・''2n - 1'' の長方形に分割し、直角に折り曲げて左辺のその他の項が表す正方形に付加して右辺の正方形を作ることに相当する。また、中央の ''2n(n + 1)'' は ''n'' 番目の三角数の4倍であるため、自乗の一方を4から ''4n'' まで連続する4の倍数の和に変形して左辺のその他の項に逆順で分配してもよい。これを図形的に見れば、一辺が ''2n(n + 1)'' の正方形を幅が1, 2, 3,・・nの長方形4個ずつ ''4n'' 個に分割し、左辺のその他の項を表す正方形の周囲に付加して右辺の正方形を作ることに相当する<ref>眺めて楽しむ数学 証明の展覧会Ⅱ [[秋山仁]]・奈良知惠・酒井利訓訳 2003年 [[東海大学出版会]] ISBN 4486015819 126、127頁</ref>。等式の値は ''n'' 番目の四角錐数の ''12n(n + 1) + 1'' 倍であり、奥行き、幅、高さ等が ''n'', ''n + 1/2 - 1/√6'', ''n + 1/2'', ''n + 1/2 + 1/√6'', ''n + 1'' の[[5次元]]超直方体の超体積の4倍に等しい。この値は1から ''n'' までの立方和（''n'' 番目の三角数の自乗）の ''16(n + 1/2)'' 倍と ''n'' 番目の四角錐数の和にも等しく、1から ''n'' までの4乗和（''n'' 番目の四角錐数の ''{3n(n + 1) - 1}/5'' 倍）の20倍と ''n'' 番目の四角錐数の5倍の和にも等しい。

== 脚注釈 ==

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