「中点連結定理」の版間の差分

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[[三角形]] {{math|ABC}} について、辺 {{math|AB}} の[[中点]]を {{math|M}}, 辺 {{math|AC}} の中点を {{math|N}} とする。このとき、三角形 {{math|ABC}} の中点連結{{math|MN}} は、[[底辺]]{{math|BC}} と平行であり、かつ 中点連結{{math|MN}} の長さを 2 倍すると、[[底辺]]{{math|BC}} の長さに等しくなることを示し、'''中点連結定理'''が成り立つことを証明する。
 
{{math proof| 線分 {{math|MN}} の延長上に、補助点 {{math|D}} をとって、{{math| MN {{=}} ND}} とする。
{{math proof| 線分 {{math|MN}} の延長上に、補助点 {{math|D}} をとって、{{math| MN {{=}} ND}} とする。ここで、{{math|MN {{=}} ND}}, {{math|AN {{=}} NC}} であり、[[四角形]] {{math|AMCD}} の[[対角線]]は各々の[[中点]] {{math|N}} で交わることから、平行四辺形{{math|AMCD}}が成立する。平行四辺形の定義より {{math|AM ∥ CD}}、平行四辺形の対辺の性質より {{math|AM {{=}} CD}} が明らかになる。ところが、{{math|M}} は 辺{{math|AB}} の[[中点]]であることから {{math|AM {{=}} MB}} であることを用いると、{{math|MB{{=}} CD}} となり、{{math|MB ∥ CD}} とから、一組の対辺が平行かつ等長であることから [[平行四辺形]] {{math|MBCD}} が成立する。平行四辺形の定義より、他方の辺の組についても互いに平行であること {{math|MD ∥ BC}} から {{math|MN ∥ BC}} が成り立つ。また、[[平行四辺形]] {{math|MBCD}} の対辺の性質から、 {{math|MD {{=}} BC}} が示され、補助点 {{math|D}} の設定より、{{math|MN {{=}} ND}} より {{math|2MN {{=}}BC}} が成り立つから、底辺 {{math|BC}} と、中点連結 {{math|MN}} について'''中点連結定理'''が示された。}}
また、[[平行四辺形]] {{math|MBCD}} の対辺の性質から、 {{math|MD {{=}} BC}} が示され、補助点 {{math|D}} の設定より、{{math|MN {{=}} ND}} より {{math|2MN {{=}}BC}} が成り立つから、底辺 {{math|BC}} と、中点連結 {{math|MN}} について'''中点連結定理'''が示された。}}
 
なお、国内の中学校で用いられている教科書の多くで、[[図形の相似]] の単元の中で、[[三角形]]{{math|ABC}} と [[三角形]]{{math|AMN}} が相似であることを用いた証明の記述がある。これは、学習課程の便宜から、証明として用いられている方法であり、相似の性質を利用して示す特殊な例として扱われている。これは中学数学において、相似な図形に関する知識を、小学算数の[[拡大・縮小]]の操作を通して得られた、図形の計量の知識の一部と捉え(半ば公理として)証明なしで使用している事情による。数学的には、相似な図形の性質、成立条件を含め、あらゆる相似に関する定理はこの '''中点連結定理''' とその[[逆定理]]を繰り返し用いることで導かれるものであるため、これでは循環論法となって、厳密には誤りである。