「二次関数」の版間の差分

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次数が2の[[多項式]]によって定義される[[関数 (数学)|関数]]
:<math>f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \ne 0)</math>
のことを {{math|''x''}} を独立変数とする'''二次関数'''という。特に {{math|''b'' {{=}} ''c'' {{=}} 0}} のときは、「二乗に比例する関数」とも言う。
:<math>f(x) = a \left( x +{b \over frac{b}{2a} \right) ^2 - \frac{b^2 -4ac \over 4ac}{4a}</math>
 
上記の標準形では、二次関数の頂点の座標は一般的に<math>(x, \, y) = \left( -\frac{b}{2a}, \, -\frac{b^2 - 4ac}{4a} \right)</math>となる。
:<math>f(x)=a(x+{b \over 2a})^2-{b^2-4ac \over 4a}</math>
 
:{{math|''f''(''x'') {{=}} ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}}
上記の標準形では、二次関数の頂点の座標は一般的に
 
<math>(x , y)=(-{b \over 2a} , -{b^2-4ac \over 4a})</math> となる。
 
 
:''f''(''x'') = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''
の形に表された二次関数を'''一般形'''(いっぱんけい、''standard form'')という。式変形によって一般形に変形できる関数も二次関数と呼ばれ、特に
:{{math|''f''(''x'') {{=}} ''a''(''x''&minus; - ''p'')<sup>2</sup> + ''q''}}
の形の二次関数を'''標準形'''(ひょうじゅんけい、''vertex form'')といい
:{{math|''f''(''x'') {{=}} ''a''(''x''&minus; - ''s'')(''x''&minus; - ''t'')}}
の形の二次関数を'''因数分解形'''(いんすうぶんかいけい、''factored form'')もしくは単に分解形という。
 
一般形で {{math|''b'' {{=}} 0}} のときは標準形でもあり、標準形で {{math|''q'' {{=}} 0}} のときは因数分解形でもある。因数分解形で {{math|''s'' {{=}} ''t''}} のときは標準形でもあり、さらに {{math|''s'' {{=}} ''t'' {{=}} 0}} のときは一般形でもある。
 
標準形や因数分解形を展開すれば一般形が得られ、一般形を[[因数分解]]すれば因数分解形が得られる。また、一般形を[[二次方程式#平方完成|平方完成]]すれば、標準形が得られる。