「信頼区間」の版間の差分
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{{出典の明記|date=2015年9月}}
'''信頼区間'''（しんらいくかん、{{Lang-en-short|Confidence interval, CI}}）とは、[[母数空間]] Θ 上の関数 ''g'' : ''Θ'' → [[実数|'''R''']] が[[母数]] ''θ'' ∈ ''Θ'' でとる値 ''g''(''θ'') を統計的に推定するために用いられる区間。実数 0 < ''α'' < 1 と（観測できない）[[母数]] ''θ'' により定まる[[確率分布]] ''P'' = ''P
:<math>P(a \leq g(\theta) \leq b) \geq 1 - \alpha </math>
を満たすとき、[[閉区間]] [''a'', ''b''] を ''g''(''θ'') の '''100(1 − ''α'')% 信頼区間'''という。値 1 − ''α'' （または 100(1 − ''α'')%）は、'''信頼水準'''（{{lang-en-short|confidence level}}）または'''信頼係数'''（{{lang-en-short|confidence coefficient}}）と呼ばれ、慣習的には95%や99%（つまり ''α'' = 0.05, 0.01）などの数値を用いる。これを
:100(1 − ''α'')% CI [''a'', ''b'']
と表記することもある。
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信頼区間は普通、標本から計算された統計量とともに与えられる。
-->
例えば「信頼水準95%で、投票者の35%から45%がA候補を支持している」といったとき、95%というのが信頼水準で、35%から45%というのが信頼区間、''g''(''θ'') に当たるのはA候補の支持率である。
2019年には科学者800人超が『''[[ネイチャー|Nature]]''』に署名を掲載し、誤って使われていることも多い「[[有意|統計的有意性]]」を使うのをやめて[[信頼区間]]を互換区間という言葉に言い換えて使用すべきだとされた<ref name="Nature800">{{Cite web |author=井上輝一 |date=2019-3-26 |url=https://www.itmedia.co.jp/news/articles/1903/26/news112.html |title=「“統計的に有意差なし”もうやめませんか」 Natureに科学者800人超が署名して投稿 |publisher=ITmedia |accessdate=2019-05-21}}</ref>。
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==具体例==
''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub> を、[[平均]] ''μ''、[[分散 (確率論)|分散]] ''σ''<sup>2</sup> > 0 の[[正規分布]]に従う[[母集団]]から抽出した[[独立 (確率論)|独立]]な標本とする。そこで[[標本平均]]と[[不偏分散]]をそれぞれ
:<math>\
S^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2
\end{align}</math>
とおけば
:<math>T=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}</math>
は自由度 ''n'' − 1 の[[t分布]]に従う。
ここで ''T'' が従う分布は（観測できない）母数 ''θ'' = (''μ'', ''σ''<sup>2</sup>) にはよらないことに注意。
[[File:Confidence-interval.svg|right|300px]]
''t''<sub>''n''−1</sub>(''α'') をこの分布の上側100''α''%点とすれば
:<math>P\big( -t_{n - 1}(\alpha/2) \leq T \leq t_{n - 1}(\alpha/2) \big) = 1 - \alpha</math>
となる。したがって
:<math>P\left( \overline{X} - t_{n - 1}(\alpha/2) \frac{S}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X} + t_{n - 1}(\alpha/2)\frac{S}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \alpha</math>
が成り立ち、平均 ''g''(''θ'') = ''μ'' の 100(1 − ''α'')% 信頼区間
:<math>\left[ \overline{X} - t_{n - 1}(\alpha/2) \frac{S}{\sqrt{n}},\quad \overline{X} + t_{n - 1}(\alpha/2) \frac{S}{\sqrt{n}} \right]</math>
が得られる。
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