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「ジョルダン標準形」の版間の差分

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61行目:
対角行列は次数が1のジョルダン細胞のみからなるジョルダン標準形である。
 
次の[[複素数|複素]]成分正方行列 {{mvar|MA}} のジョルダン標準形は次のようになる。
:<math>
MA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix},~
P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix},~
PMPPAP^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}
</math>
また次で定めるベクトル {{mvar|u}}, {{mvar|v}} は {{math|''MuAu'' {{=}} 3''u''}} と {{math|''MvAv'' {{=}} 3''v'' + ''u''}} とを満たすので行列 {{mvar|MA}} のジョルダン基底である。
:<math>
u = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},~
73行目:
</math>
 
この行列 {{mvar|MA}} の半単純成分 {{mvar|S}} と冪零成分 {{mvar|N}} への分解は次のようになる。
:<math>
S = P^{-1}\begin{pmatrix}3&0\\0&3\\ \end{pmatrix}P=\begin{pmatrix} 3 & 0\\0 & 3 \end{pmatrix},~
N = P^{-1}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\ \end{pmatrix}P=\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}, ~
A = P^{-1}\left(\begin{pmatrix}3&0\\0&3\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\ \end{pmatrix}\right)P=S + N
M = S + N
</math>
この分解は {{math|''N''<sup>2</sup> {{=}} 0}} や {{math|''SN'' {{=}} ''NS''}} が成り立つので、
[[行列の指数関数]]や[[冪乗]]の計算に役立つ。
:<math>
e^{MtAt} = e^{St + Nt} = e^{St}e^{Nt} = e^{St}(I + Nt) = e^{3t}\begin{pmatrix} 1 - 2t & 2t \\ -2t & 1 + 2t \end{pmatrix}
</math>
:<math>
MA^n = (S + N)^n = S^n + nS^{n - 1}N =
3^{n - 1}\begin{pmatrix} 3 - 2n & 2n \\ -2n & 3 + 2n \end{pmatrix}
</math>
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