「積率母関数」の版間の差分

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積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率(モーメント)と積率母関数が存在しない可能性がある点である。これとは対照的に[[特性関数 (確率論)|特性関数]]は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。
 
より一般化すると、''n''-次元の確率変数ベクトル(ベクトル値確率変数) <math>\mathbf boldsymbol{X} = ( X_1, \ldotsdots, X_n)</math> の場合、<math>tX</math> の代わりに <math>\mathbf boldsymbol{t} \cdot \mathbf boldsymbol{X} =\equiv \mathbf boldsymbol{t}^{\mathrm Tintercal}\mathbf boldsymbol{X}</math> を使い、次のように定義する。
 
:<math> M_{\mathbfboldsymbol X}(\mathbf boldsymbol{t}) := E\left(e^{\mathbf boldsymbol{t^\mathrm} T\mathbfcdot \boldsymbol{X}}\right)</math>
 
== 計算 ==
積率母関数は[[リーマン=スティルチェス積分]]で次のように与えられる。
 
::<math>M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF(x)</math>
 
ここで ''F'' は[[累積分布関数]]である。
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''X'' が連続な[[確率密度関数]] ''f''(''X'') を持つ場合、<math>M_X(-t)</math> は ''f''(''x'') の[[両側ラプラス変換]]である。
 
:<math>\begin{align}
M_X(t) &= \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x</math> \\
:::<math> &= \int_{-\infty}^\infty \left( 1 + tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdotsdotsb \right) f(x)\,\mathrm{d}x</math> \\
:::<math> &= 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} + \cdots,</math>dotsb
\end{align}</math>
 
ここで、<math>m_i</math> は ''i''番目の[[モーメント (確率論)|モーメント]]である。
33 ⟶ 35行目:
2つの独立な確率変数の和の積率母関数は次のようになる。
 
:<math>M_{X+Y}(t) = E\left(e^{t(X+Y)}) = E(e^{tX}e^{tY}\right) = E(e^{tX})E(e^{tY}) = M_X(t)M_Y(t)</math>
::<math>
M_{X+Y}(t) = E(e^{t(X+Y)}) = E(e^{tX}e^{tY}) = E(e^{tX})E(e^{tY}) = M_X(t)M_Y(t)
</math>
 
=== 独立確率変数の総和(一般化) ===
''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub> が一連の独立確率変数で(分布が同一である必要は無い)、
 
::<math>S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,</math>
 
としたとき(''a''<sub>''i''</sub> は定数)、''S''<sub>''n''</sub> の確率密度関数はそれぞれの ''X''<sub>''i''</sub> の確率密度関数の[[畳み込み]]となり、''S''<sub>''n''</sub> の積率母関数は次のようになる。
 
:<math>M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdotsdotsb M_{X_n}(a_nt).</math>
::<math>
M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt).
</math>
 
== 他の関数との関係 ==