「積率母関数」の版間の差分
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積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率(モーメント)と積率母関数が存在しない可能性がある点である。これとは対照的に[[特性関数 (確率論)|特性関数]]は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。
より一般化すると、''n''-次元の確率変数ベクトル(ベクトル値確率変数) <math>\
:<math> M_{\
== 計算 ==
積率母関数は[[リーマン=スティルチェス積分]]で次のように与えられる。
ここで ''F'' は[[累積分布関数]]である。
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''X'' が連続な[[確率密度関数]] ''f''(''X'') を持つ場合、<math>M_X(-t)</math> は ''f''(''x'') の[[両側ラプラス変換]]である。
:<math>\begin{align}
M_X(t) &= \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x \end{align}</math>
ここで、<math>m_i</math> は ''i''番目の[[モーメント (確率論)|モーメント]]である。
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2つの独立な確率変数の和の積率母関数は次のようになる。
:<math>M_{X+Y}(t) = E\left(e^{t(X+Y)}
▲M_{X+Y}(t) = E(e^{t(X+Y)}) = E(e^{tX}e^{tY}) = E(e^{tX})E(e^{tY}) = M_X(t)M_Y(t)
=== 独立確率変数の総和(一般化) ===
''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub> が一連の独立確率変数で(分布が同一である必要は無い)、
としたとき(''a''<sub>''i''</sub> は定数)、''S''<sub>''n''</sub> の確率密度関数はそれぞれの ''X''<sub>''i''</sub> の確率密度関数の[[畳み込み]]となり、''S''<sub>''n''</sub> の積率母関数は次のようになる。
▲M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt).
== 他の関数との関係 ==
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