「対数平均」の版間の差分
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== 一般化==
2種類の由来に応じて対数平均の一般化にも2つの方法があり、それぞれ異なる結果を与える。
=== 平均値の定理によるもの ===
対数の {{math|''n''}} 階導関数についての[[差商に対する平均値の定理]]を考慮することにより、対数平均を {{math|''n''+1}} 変数に一般化できる。 :<math>M_\text{MV}(x_0,\dots,x_n) = \sqrt[-n]{(-1)^{
を得る。ただし {{math|ln
:<math>\ln\left[x_0,\, \dots,\, x_n\right]
= \frac{1}{n!}\left[\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\ln{x}\right]_{x=\xi}
= \frac{(-1)^{n-1}}{n \xi^n}</math>
が成り立つ。この式を {{math|ξ}} について解くことで上式は導かれる。
たとえば {{math|''n'' {{=}} 2}} のとき、3変数 {{math|''x'', ''y'', ''z''}} の対数平均は以下となる。
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を考える。<!--また単体Sの体積が1になるような適当な測度dαをとる。-->このとき対数平均は
:<math>M_\text{I}\left(x_0,\, \dots,\, x_n\right) = \int_S x_0^{\alpha_0} \cdot \,\cdots\, \cdot x_n^{\alpha_n}\ \mathrm{d}\alpha</math>
と一般化される。これは指数関数の差商 {{math|exp[ln ''x''{{sub|0}}, ... , ln ''x{{sub|n}}'']}} を用いて簡単に書くことができ、
:<math>M_\text{I}\left(x_0,\, \dots,\, x_n\right) = n! \exp
となる。
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