「オイラーの公式」の版間の差分

編集の要約なし
[[画像:Euler's formula.svg|thumb|オイラーの公式の図形的な表現。グラフは横軸が実数軸、縦軸が虚数軸の複素平面でありにおいて{{mvar|φ}} は複素数 {{mathmvar|''e{{sup|iφ}}''}} は、単位円周上の偏角である {{mvar|φ}} の点を表す。]]
[[数学]]の[[複素解析]]における'''オイラーの公式'''(オイラーのこうしき、{{lang-en-short|Euler's formula}})とは、[[複素指数函数]]と[[三角関数]]の間に成り立つ、以下の[[恒等式]]のことである:
:<math>e^{i\theta} = \cos\theta +i\sin\theta</math>
ここで {{math|''e''{{sup|'''&middot;'''}}}} は指数関数、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]、{{math|cos '''&middot;''', sin '''&middot;'''}} はそれぞれ余弦関数および正弦関数である<ref group="注">指数関数 {{math|''e''{{sup|'''&middot;'''}}}} は[[冪乗|累乗]]を拡張したもので、複素数 {{math2|''x'', ''y''}} について {{math|''e{{sup|x}}'' × ''e{{sup|y}}'' {{=}} e{{sup|''x''+''y''}}}} という関係が成り立つ。{{math|''e'' {{=}} ''e''{{sup|1}} {{=}} 2.718281828…}} は'''自然対数の底'''あるいは'''[[ネイピア数]]'''と呼ばれる。<br />虚数単位 {{mvar|i}} は {{math|''i''{{sup|2}} {{=}} ''i'' × ''i'' {{=}} &minus;1}} を満たす複素数である。<br />余弦関数 {{math|cos&thinsp;'''&middot;'''}} および正弦関数 {{math|sin&thinsp;'''&middot;'''}} は三角関数の一種である。正弦関数 {{math|sin ''θ''}} は、[[直角三角形]]の[[斜辺]]とその三角形の変数 {{mvar|θ}} に対応する角度を持つ[[鋭角]]の[[対辺]](正弦)の長さの比を表す。余弦関数 {{math|cos ''θ''}} はもう一方の鋭角(余角)の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円(半径の長さを 1 とする円)の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す {{mathmath2|''x'', ''y''}} 座標はそれぞれ {{math|cos''θ''}}, {{math|sin ''θ''}} に等しい({{mvar|θ}} は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、{{mvar|x}} 軸のなす角の大きさに対応する)。<br />文献によっては、指数関数は、{{en|<u>exp</u>onent}}(指数)から3字取って {{math|exp ''x'' ({{=}} ''e''{{sup|''x''}})}} と表される。また虚数単位には {{mvar|i}} でなく {{mvar|j}} を用いることがある。</ref>。任意の[[複素数]] {{mvar|θ}} に対して成り立つ等式であるが、特に {{mvar|θ}} が実数である場合が重要でありよく使われる。{{mvar|θ}} が[[実数]]のとき、{{mvar|θ}} は[[複素数]] {{math|''e''{{sup|''iθ''}}}} がなすは、[[複素平面数の絶対値|絶対値]]上の {{math|1}}, [[複素数#極形式の偏角|偏角]](角度 {{mvar|θ}}単位は[[ラジアン]])の複素数対応する等しい
 
公式の名前は18世紀の数学者[[レオンハルト・オイラー]] ([[:en:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]) に因むが、最初の発見者は[[ロジャー・コーツ]] ([[:en:Roger Cotes|Roger Cotes]]) とされる。コーツは[[1714年]]に
:<math> \log\left(\cos x + i\sin x \right)=ix \ </math>
を発見した<ref name="Stillwell">{{Cite book |author=John Stillwell |title=Mathematics and Its History |publisher=Springer |year=2002 |url=http://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315}}</ref>が、三角関数の周期性による対数関数の[[多価関数|多価性]]を見逃した。
 
1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった<ref name="Stillwell"/>。
 
この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、[[電気工学]]・[[物理学]]などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者の[[リチャード・ファインマン]]はこの公式を評して''「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」'' {{sfn|ファインマン|1977|pp=294, 307}}{{sfn|吉田|2010}}だと述べている。
{{sfn|ファインマン|1977|pp=294, 307}}{{sfn|吉田|2010}}だと述べている。
 
オイラーの公式は、複素数の極形式を簡明な表示に導く。すなわち、複素数の極形式 {{math2|''z'' {{=}} ''r''(cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ'')}} は {{math2|''z'' {{=}} ''re{{sup|θ}}''}} に等しい。また、特に、{{math2|''θ'' {{=}} {{π}}}} のとき、
オイラーの公式は、[[変数 (数学)|変数]] {{mvar|θ}} が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、[[虚数]]の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 {{mvar|θ}} に対応する余弦関数 {{math|cos}} と正弦関数 {{math|sin}} に等しいことを表す。このとき、偏角 {{mvar|θ}} を[[媒介変数|パラメータ]]とする[[曲線]] {{math|''e''{{sup|''iθ''}}}} は、複素平面上の[[単位円]]をなす。
:<math>e^{i\pi}=- +1=0</math>
特に、{{math|''θ'' {{=}} {{π}}}} のとき(すなわち偏角が 180 度のとき)、
となが導かれる。この関係は'''[[オイラーの等式]]''' {{en|(Euler's identity)}} と呼ばれる<ref group="注">三角関数の周期性(従って複素指数関数の周期性)により、オイラーの等式が成り立つのは {{math|''θ'' {{=}} {{π}}}} に限らない。すなわち、任意の整数 {{mvar|z}} について {{math|''θ'' {{=}} {{π}} + 2{{π}}''z'' {{=}} 2{{π}}(''z'' + {{sfrac|1|2}})}} は {{math|''e''{{sup|''iθ''}} {{=}} &minus;1}} を満たす。</ref>。
:<math>e^{i\pi}=-1</math>
となる。この関係は'''[[オイラーの等式]]''' {{en|(Euler's identity)}} と呼ばれる<ref group="注">三角関数の周期性(従って複素指数関数の周期性)により、オイラーの等式が成り立つのは {{math|''θ'' {{=}} {{π}}}} に限らない。すなわち、任意の整数 {{mvar|z}} について {{math|''θ'' {{=}} {{π}} + 2{{π}}''z'' {{=}} 2{{π}}(''z'' + {{sfrac|1|2}})}} は {{math|''e''{{sup|''iθ''}} {{=}} &minus;1}} を満たす。</ref>。
 
オイラーの公式は、余弦関数、正弦関数の[[双曲線関数]]による表示を導く:
{{mvar|θ}} が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。
:<math>\cos x= \cosh i \theta</math>
 
:<math>\sin x= \tfrac{1}{i} \sinh i \theta</math>
オイラーの公式は、三角関数 {{math|cos ''θ''}}, {{math|sin ''θ''}} が[[双曲線関数]] {{math|cosh(''iθ''), sinh(''iθ'')/''i''}} に対応することを導く。また応用上は、オイラーの公式を経由して三角関数を複素指数関数に置き換えることで、[[微分方程式]]や[[フーリエ級数]]などを利用しやすくする。
 
== 指数関数と三角関数 ==
実関数として定義される[[指数関数]] {{math|''e''{{sup|''x''}}}} および[[三角関数]] {{math|cos ''x''}}, {{math|sin ''x''}} を各々[[マクローリン展開]]すれば<ref group="注">{{math|''x'' {{=}} 0}} の周りの[[テイラー展開]]をマクローリン展開 {{en|(Maclaurin expansion)}} と呼ぶ。また一般に関数を[[冪級数]]として表すことを冪級数展開と呼ぶ。</ref>
{{numBlk|:|<math>e^x = \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \fracdfrac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for(x all\in \mathbb{R}x )</math>|{{equationRef|Macl1|1}}}}
{{numBlk|:|<math>\cos x = \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \fracdfrac{(-1)^n}{(2n)!} \, x^{2n}\quad\mbox{ for(x all\in \mathbb{R} x)</math>|{{equationRef|Macl2|2}}}}
{{numBlk|:|<math>\sin x = \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \fracdfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, x^{2n+1}\quad\mbox{ for(x all\in \mathbb{R} x)</math>|{{equationRef|Macl3|3}}}}
となる。これらの級数の[[収束半径]]が {{math|∞}} であることは[[ダランベールの収束判定法]]によって確認することができる<ref group="注">級数
:<math>\scriptstyle \sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math>
であるので、任意の {{mvar|y}} で収束し、{{math|''y'' {{=}} ''x''{{sup|2}}}} を代入した級数も任意の {{mvar|x}} で収束し、それに {{mvar|x}} をかけた級数(すなわち {{math|sin&thinsp;''x''}} のマクローリン展開)も任意の {{mvar|x}} で収束する。
 
以上で {{equationNote|Macl1|(1)}}, {{equationNote|Macl2|(2)}}, {{equationNote|Macl3|(3)}} の右辺の収束半径が {{math|∞}} であることが証明された。</ref>。従ってこれらの級数は、変数 {{mvar|x}} を複素全体に拡張するこ見て全複素平面上ができ、[[コンパクト一様収束|広義一様に[[絶対収束]]し、する。つまりこれらの級数によって表される関数は[[整関数]]である<ref group="注">全平面上正則な関数を整関数と言う。なおこれらは多項式でないので超越整関数であり、[[無限遠点]]を[[真性特異点]]に持つ</ref>。これら級数の収束性と[[正則関数解析接続]]に関すると、[[一致の定理]]より、[[解析接続|複素数全体での正則関数としての拡張]]全平面一意あり、この収束[[冪級数]]によって確定されるため、複素関数としての指数関数および、三角関数は通常、この級数展開式をもって定義で表される。
 
ここで、 {{math|''e''{{sup|''x''}}}} の {{mvar|x}} を {{mvar|ix}} に置き換え、{{math|''e''{{sup|''ix''}}}} の冪級数が絶対収束するために級数の項の順序を任意に交換可能である事を考慮すれば
匿名利用者