「オイラーの公式」の版間の差分

 
== 指数関数と三角関数 ==
実関数として定義される[[指数関数]] {{math|''e''{{sup|''x''}}}}, および[[三角関数]] {{math|cos ''x''}}, {{math|sin ''x''}} を各々[[マクローリン展開]]すそれぞば<ref group="注">{{math|''x'' {{=}} 0}} の周りの[[テイラー展開]]をマクローリン展開 {{en|(Maclaurin expansion)}} と呼ぶ。また一般に関数を[[冪級数]]として表ことを冪級数展開呼ぶ。</ref>
{{numBlk|:|<math>e^x = \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{x^n}{n!}\quad (x \in \mathbb{R} )</math>|{{equationRef|Macl1|1}}}}
{{numBlk|:|<math>\cos x = \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} \, x^{2n}\quad (x \in \mathbb{R} )</math>|{{equationRef|Macl2|2}}}}
{{numBlk|:|<math>\sin x = \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, x^{2n+1}\quad (x \in \mathbb{R} )</math>|{{equationRef|Macl3|3}}}}
となる。これらの[[冪級数]]の[[収束半径]]が {{math|∞}} であることは[[ダランベールの収束判定法]]によって確認することができる<ref group="注">級数 <math>\scriptstyle \sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n</math> の収束半径 {{mvar|R}} は、極限
:<math>\scriptstyle r=\lim\sum_limits_{n=0}^ \to \infty} a_n\left| x^\frac{a_n}{a_{n+1}} \right|</math>
の収束半径 {{mvar|R}} は、極限
:<math>\scriptstyle r=\lim_{n \to \infty}\left |\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|</math>
が存在すれば、{{math|''R'' {{=}} ''r''}} である。(極限が存在しない場合、収束半径はこの方法では求まらない。)
{{mathmvar|''e''{{sup|''x''}}}} の収束半径は
:<math>\begin{align}\scriptstyle
\lim_lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{1/n!}{1/(n+1)!} \right|
&\scriptstyle = \lim_lim\limits_{n \to \infty}\left| \frac{(n+1)!}{n!} \right| \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty}\left(n+1\right) \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \infty
\end{align}</math>
となる。{{math|cos ''x''}} の収束半径を求めるには、{{math|''y'' {{=}} ''x''{{sup|2}}}} についての級数と考えて、そたときの収束半径を求めればよに等しい。
:<math>\begin{align} \scriptstyle
\lim_lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{(-1)^n/(2n)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)\}!} \right|
&\scriptstyle = \lim_lim\limits_{n \to \infty} \frac{\{2(n+1)\}!}{(2n)!} \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \lim_lim\limits_{n \to \infty} (2n+2)(2n+1) \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \infty
\end{align}</math>
{{math|sin ''x''}} の収束半径は、同様に
となるので、任意の {{mvar|y}} で収束し、したがって任意の {{mvar|x}} でも収束する。{{math|sin ''x''}} もほぼ同様で、まず
:<math>\begin{align} \scriptstyle
:<math>\scriptstyle \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} y^n</math>
\lim_lim\limits_{n \to \infty} \left | \frac{(-1)^n/(2n+1)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)+1\}!} \right|
を考える。この級数の収束半径は
:<math>&\scriptstyle r= \lim\lim_limits_{n \to \infty}\left |\frac{a_{n}(2n+3)!}{a_{n(2n+1)!}} \\right|</math> \scriptstyle
:<math>\begin{align} \scriptstyle
\lim_{n \to \infty}\left |\frac{(-1)^n/(2n+1)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)+1\}!} \right|
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+3)!}{(2n+1)!} \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \lim_{n \to \infty} (2n+3)(2n+2) \\ \scriptstyle
&\scriptstyle =\infty
\end{align}</math>
であるので、任意の {{mvar|y}} で収束し、{{math|''y'' {{=}} ''x''{{sup|2}}}} を代入した級数も任意の {{mvar|x}} で収束し、それに {{mvar|x}} をかけた級数(すなわち {{math|sin&thinsp;''x''}} のマクローリン展開)も任意の {{mvar|x}} で収束する。
 
以上で {{equationNote|Macl1|(1)}}, {{equationNote|Macl2|(2)}}, {{equationNote|Macl3|(3)}} の右辺の収束半径が {{math|∞}} であることが証明された。</ref>。従ってこれらの級数は、変数 {{mvar|x}} を複素数全体に拡張することができ、[[コンパクト一様収束|広義一様収束]]する。つまりこれらの級数によって表される関数は[[整関数]]である<ref group="注">これらは多項式でないので超越整関数であり、[[無限遠点]]を[[真性特異点]]に持つ</ref>。[[解析接続]]すると、[[一致の定理]]より、複素数全体での正則関数としての拡張は一意であり、この収束[[冪級数]]で表される。
 
ここで、 {{math|''e''{{sup|''x''}}}} の {{mvar|x}} を {{mvar|ix}} に置き換え、{{math|''e''{{sup|''ix''}}}} の冪級数が絶対収束するために級数の項の順序任意に交換可能であることを考慮すれば
:<math>\begin{align}
e^{ix}
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \fracdfrac{i^n}{n!} x^{n} \\
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \fracdfrac{i^{2n}}{(2n)!}x^{2n} + \sum\limits^{\infin}_{n=0} \fracdfrac{i^{2n+1}}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \fracdfrac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + i \sum\limits^{\infin}_{n=0} \fracdfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}
\end{align}</math>
が成り立つ。この式と三角関数の冪級数展開を比較すれば
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