「オイラーの公式」の版間の差分

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[[数学]]の[[複素解析]]における'''オイラーの公式'''(オイラーのこうしき、{{lang-en-short|Euler's formula}})とは、[[複素指数函数]]と[[三角関数]]の間に成り立つ、以下の[[恒等式]]のことである:
:<math>e^{i\theta} = \cos\theta +i\sin\theta</math>
ここで {{math|''e''{{sup|'''&middot;'''}}}} は指数関数、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]、{{math|cos '''&middot;''', sin '''&middot;'''}} はそれぞれ余弦関数、正弦関数である<ref group="注">指数関数 {{math|''e''{{sup|'''&middot;'''}}}} は[[冪乗|累乗]]を拡張したもので、複素数 {{math2|''x'', ''y''}} について {{math|''e{{sup|x}}'' × ''e{{sup|y}}'' {{=}} e{{sup|''x''+''y''}}}} という関係が成り立つ。{{math|''e'' {{=}} ''e''{{sup|1}} {{=}} 2.718281828…}} は'''自然対数の底'''あるいは'''[[ネイピア数]]'''と呼ばれる。<br /ref>は指単位 関数、{{mvar|i}} は {{math|''i''{{sup|2}} {{=}} ''i'' × ''i'' {{=}} &minus;1}} を満たす複素[[虚である。<br />余弦関数 単位]]、{{math|cos&thinsp; '''&middot;'''}}, および正弦関数sin {{math|sin&thinsp;'''&middot;'''}} は三角それぞれ余弦関数の一種である。正弦関数 {{math|sin ''θ''}} は、[[直角三角形]]の[[斜辺]]とその三角形の変 {{mvar|θ}} に対応する角度を持つ[[鋭角]]の[[対辺]](正弦の長さの比を表す。余弦関数 {{math|cos ''θ''}} はもう一方の鋭角(余角)の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円(半径の長さを 1 とする円)の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す {{math2|''x'', ''y''}} 座標はそれぞれ {{math|cos''θ''}}, {{math|sin ''θ''}} に等しい({{mvar|θ}} は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、{{mvar|x}} 軸のなす角の大きさに対応する)。<br />文献によっては、指数関数は、{{en|<u>exp</u>onent}}(指数)から3字取って {{math|exp ''x'' ({{=}} ''e''{{sup|''x''}})}} と表される。また虚数単位には {{mvar|i}} なく {{mvar|j}} を用いることがある。</ref>。任意の[[複素数]] {{mvar|θ}} に対して成り立つ等式であるが、特に {{mvar|θ}} が実数である場合がよく使われる。{{mvar|θ}} が実数のとき、{{math|''e''{{sup|''iθ''}}}} は、[[複素数の絶対値|絶対値]] {{math|1}}, [[複素数の偏角|偏角]] {{mvar|θ}}(単位は[[ラジアン]])の複素数に等しい。
 
公式の名前は18世紀の数学者[[レオンハルト・オイラー]]に因むが、最初の発見者は[[ロジャー・コーツ]]とされる。コーツは[[1714年]]に
オイラーの公式は、複素数の極形式を簡明な表示に導く。すなわち、複素数の極形式 {{math2|''z'' {{=}} ''r''(cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ'')}} は {{math2|''z'' {{=}} ''re{{sup|θ}}''}} に等しい。また、特に、{{math2|''θ'' {{=}} {{π}}}} のとき、
:<math>e^{i\pi} +1=0</math>
が導かれる。この関係式は'''[[オイラーの等式]]''' {{en|(Euler's identity)}} と呼ばれる<ref group="注">三角関数の周期性(従って複素指数関数の周期性)により、オイラーの等式が成り立つのは {{math|''θ'' {{=}} {{π}}}} に限らない。すなわち、任意の整数 {{mvar|z}} について {{math|''θ'' {{=}} {{π}} + 2{{π}}''z'' {{=}} 2{{π}}(''z'' + {{sfrac|1|2}})}} は {{math|''e''{{sup|''iθ''}} {{=}} &minus;1}} を満たす。</ref>
 
オイラーの公式は、余弦関数、正弦関数の[[双曲線関数]]による表示を導く:
\lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{(-1)^n/(2n+1)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)+1\}!} \right|
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{(2n+3)!}{(2n+1)!} \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \lim_lim\limits_{n \to \infty} (2n+3)(2n+2) \\ \scriptstyle
&\scriptstyle =\infty
\end{align}</math>
以上で {{equationNote|Macl1|(1)}}, {{equationNote|Macl2|(2)}}, {{equationNote|Macl3|(3)}} の右辺の収束半径が {{math|∞}} であることが証明された。</ref>。従ってこれらの級数は、変数 {{mvar|x}} を複素数全体に拡張することができ、[[コンパクト一様収束|広義一様収束]]する。つまりこれらの級数によって表される関数は[[整関数]]である<ref group="注">これらは多項式でないので超越整関数であり、[[無限遠点]]を[[真性特異点]]に持つ</ref>。[[解析接続]]すると、[[一致の定理]]より、複素数全体での正則関数としての拡張は一意であり、この収束[[冪級数]]で表される。
 
ここで、 {{math|''e''{{sup|''x''}}}} の {{mvar|x}} を {{mvar|ix}} に置き換え、{{math|''e''{{sup|''ix''}}}} の冪級数が絶対収束するためにことより級数の項の順序は任意に交換可能であることを考慮すれば
:<math>\begin{align}
e^{ix}
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{i^n}{n!} x^n \\
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{i^{2n}}{(2n)!}x^{2n} + \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{i^{2n+1}}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + i \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\
:<math>e^{ix} &= \cos x + i\sin x</math>
\end{align}</math>
が成り立つ。この式と三角関数の冪級数展開を比較すれば
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>
が得られる。
 
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、[[複素数]]の世界では密接に結びついていることを表している。例えば、三角関数の加法定理は、指数法則 {{math|''e{{sup|a}}e{{sup|b}}'' {{=}} ''e''{{sup|''a'' + ''b''}}}} に対応していることが分かる<ref name="複素関数を学ぶ人のために" /><ref group="注">{{math|''e''{{sup|''a'' + ''b''}}}} を冪級数で表し、各項を[[二項定理|二項展開]]し、展開した項を改めて整理すれば、指数法則 {{math|''e''{{sup|''a'' + ''b''}} {{=}} ''e{{sup|a}}e{{sup|b}}''}} を導出できる。
たとえば、三角関数の[[三角関数#加法定理|加法定理]]は、指数法則 {{math|''e''{{sup|''a''}}''e''{{sup|''b''}} {{=}} ''e''{{sup|''a'' + ''b''}}}} に対応していることが分かる<ref name="複素関数を学ぶ人のために" /><ref group="注">{{math|''e''{{sup|''a'' + ''b''}}}} を冪級数で表し、各項を[[二項定理|二項展開]]し、展開した項を改めて整理すれば、指数法則 {{math|''e''{{sup|''a'' + ''b''}} {{=}} ''e''{{sup|''a''}}''e''{{sup|''b''}}}} を導出できる。
:<math>\begin{align}\scriptstyle
e^{a+b}
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