「オイラーの公式」の版間の差分

 
== 指数関数と三角関数 ==
実関数としての[[指数関数]] {{math|''e''{{sup|''x''}}}}, [[三角関数]] {{math|cos ''x''}}, {{math|sin ''x''}} をそれぞれ[[テイラー展開|マクローリン展開]]すると
{{numBlk|:|<math>e^x = \textstyle\sum\limits^{\infin}_limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{x^n}{n!} \quad (x \in \mathbb{R} )</math>|{{equationRef|Macl1|1}}}}
{{numBlk|:|<math>\cos x = \textstyle\sum\limits^{\infin}_limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} \, x^{2n} \quad (x \in \mathbb{R} )</math>|{{equationRef|Macl2|2}}}}
{{numBlk|:|<math>\sin x = \textstyle\sum\limits^{\infin}_limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, x^{2n+1} \quad (x \in \mathbb{R} )</math>|{{equationRef|Macl3|3}}}}
となる。これらの[[冪級数]]の[[収束半径]]が {{math|∞}} であることは、[[ダランベールの収束判定法]]によって確認することができる<ref group="注">冪級数 <math>\scriptstyle \sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n</math> の収束半径 {{mvar|R}} は、極限
:<math>\scriptstyle r=\lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|</math>
{{mvar|e{{sup|x}}}} の収束半径は
:<math>\begin{align}\scriptstyle
\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{1/n!}{1/(n+1)!} \right|
&\scriptstyle = \lim\limits_{n \to \infty} (n+1) \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \infty
\end{align}</math>
:<math>\begin{align} \scriptstyle
\lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{(-1)^n/(2n)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)\}!} \right|
&\scriptstyle = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\{2(n+1)\}!}{(2n)!} \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \lim\limits_{n \to \infty} (2n+2)(2n+1) \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \infty
\end{align}</math>
\lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{(-1)^n/(2n+1)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)+1\}!} \right|
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{(2n+3)!}{(2n+1)!} \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \lim\limits_{n \to \infty} (2n+3)(2n+2) \\ \scriptstyle
&\scriptstyle =\infty
\end{align}</math>
以上で {{equationNote|Macl1|(1)}}, {{equationNote|Macl2|(2)}}, {{equationNote|Macl3|(3)}} の右辺の収束半径が {{math|∞}} であることが証明された。</ref>。従ってこれらの級数は、変数 {{mvar|x}} を複素数全体に拡張することができ、[[コンパクト一様収束|広義一様収束]]する。つまりこれらの級数によって表される関数は[[整関数]]である<ref group="注">これらは多項式でないので超越整関数であり、[[無限遠点]]を[[真性特異点]]に持つ</ref>。[[解析接続]]すると、[[一致の定理]]より、複素数全体での[[正則関数]]としての拡張は一意であり、この収束[[冪級数]]で表される。
 
ここで、 {{mathmvar|''e''{{sup|''x''}}}} の {{mvar|x}} を {{mvar|ix}} に置き換え、{{mathmvar|''e''{{sup|''ix''}}}} の冪級数が絶対収束することより級数の項の順序は任意に交換可能であることを考慮すれば
:<math>\begin{align}
e^{ix}
が得られる。
 
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、[[複素数]]の世界では密接に結びついていることを表している。例えば、三角関数の加法定理は、指数法則 {{math|''e{{sup|a}}e{{sup|b}}'' {{=}} ''e''{{sup|''a'' + ''b''}}}} に対応していることが分かる<ref name="複素関数を学ぶ人のために" /><ref group="注">{{math|''e''{{sup|''a'' + ''b''}}}} を冪級数で表し、各項を[[二項定理|二項展開]]し、展開した項を改めて整理すれば、指数法則 {{math|''e''{{sup|''a'' + ''b''}} {{=}} ''e{{sup|a}}e{{sup|b}}''}} を導出できる。
:<math>\begin{align}\scriptstyle
e^{a+b}
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_limits_{n=0}^{\infin} \frac{(a+b)^n}{n!}\\
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_limits_{n=0}^{\infin} \frac{1}{n!} \sum^{n}_\limits_{r=0}^n \frac{n!}{r!(n-r)!} a^{r} b^{n-r} \\
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_limits_{n=0}^{\infin} \sum^{n}_\limits_{r=0}^n \frac{a^{r} b^{n-r}}{r!(n-r)!} \\
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_limits_{r=0} \sum^{\infin}_ \sum\limits_{n=r}^{\infin} \frac{a^{r} b^{n-r}}{r!(n-r)!} \\
&\scriptstyle = \sum^{\infin}_limits_{r=0}^{\infin} \frac{a^{r}}{r!} \sum^{\infin}_limits_{n=r}^{\infin} \frac{b^{n-r}}{(n-r)!} \ (m \, \equiv \, n-r) \\
&\scriptstyle \overbrace{=}^{m \equiv n-sum\limits_{r=0} \sum^{\infin}_{r=0} \frac{a^{r}}{r!} \sum^{\infin}_limits_{m=0}^{\infin} \frac{b^{m}}{m!}\\
&\scriptstyle = e^{a} e^{b}. \quad //
\end{align}</math></ref>に対応していることが分かる<ref name="複素関数を学ぶ人のために" />。
 
オイラーの公式を利用して三角関数を指数関数に置き換えることができる。たとえば余弦関数と正弦関数については直接的に、
:<math>\begin{align}
\cos z &= \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \\
\sin z &= \frac{e^{iz} -e^{-iz}}{2i}
\end{align}</math>
という表現が得られる。
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