「オイラーの公式」の版間の差分

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[[数学]]の[[複素解析]]における'''オイラーの公式'''(オイラーのこうしき、{{lang-en-short|Euler's formula}})とは、[[複素指数函数]]と[[三角関数]]の間に成り立つ、以下の[[恒等式]]のことである:
:<math>e^{i\theta} = \cos\theta +i\sin\theta</math>
ここで {{math|''e''{{sup|'''&middot;'''}}}}<ref group="注">{{math|''e'' {{=}} 2.718281828…}} は'''[[ネイピア数]]'''と呼ばれる。</ref>は指数関数、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]、{{math|cos '''&middot;''', sin '''&middot;'''}} はそれぞれ余弦関数、正弦関数([[三角関数]])である。この等式は、任意の[[複素数]] {{mvar|θ}} に対して成り立つ等式であるが、特に {{mvar|θ}} が実数である場合がよく使われる。{{mvar|θ}} が実数のとき、{{mathmvar|''e''{{sup|''''}}}} は、[[複素数の絶対値|絶対値]] {{math|1}}, [[複素数の偏角|偏角]] {{mvar|θ}}(単位は[[ラジアン]])の複素数に等しい。
 
公式の名前は18世紀の数学者[[レオンハルト・オイラー]]に因むが、最初の発見者は[[ロジャー・コーツ]]とされる。コーツは[[1714年]]に
 
オイラーの公式は、余弦関数、正弦関数の[[双曲線関数]]による表示を導く:
:<math>\cos x\theta = \cosh i \theta</math>
:<math>\sin x\theta = \tfrac{1}{i} \sinh i \theta</math>
応用上は、オイラーの公式を経由してにより三角関数を複素指数関数に置き換えることで、[[微分方程式]]や[[フーリエ級数]]など利用しやすくる。
 
== 指数関数と三角関数 ==
となる。{{math|cos ''x''}} の収束半径は、{{math|''x''{{sup|2}}}} についての級数と考えたときの収束半径に等しい。
:<math>\begin{align} \scriptstyle
\lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{(-1)^n/(2n)!}{(-1)^{n+1}/\{ 2(n+1) \}!} \right|
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\{2(n+1)\}!}{(2n)!} \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} (2n+2)(2n+1) \\ \scriptstyle
{{math|sin ''x''}} の収束半径は、同様に
:<math>\begin{align} \scriptstyle
\lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{(-1)^n/(2n+1)!}{(-1)^{n+1}/\{ 2(n+1)+1 \}!} \right|
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{(2n+3)!}{(2n+1)!} \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} (2n+3)(2n+2) \\ \scriptstyle
e^{ix}
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{i^n}{n!} x^n \\
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{i^{2n}}{(2n)!}x^{2n} + \sum\limits^{\infin}_limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{i^{2n+1}}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + i \sum\limits^{\infin}_limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\
&= \cos x + i\sin x
\end{align}</math>
が得られる。
 
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、[[複素数]]の世界では密接に結びついていることを表している。例えば、三角関数の加法定理は、指数法則 {{math|''e{{sup|a}}e{{sup|b}}'' {{=}} ''e''{{sup|''a'' + ''b''}}}}<ref group="注">
:<math>\begin{align}\scriptstyle
e^{a+b}
&\scriptstyle = \sum\limits_{n=0}^{\infin} \frac{(a+b)^n}{n!} \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{n=0}^{\infin} \frac{1}{n!} \sum\limits_{r=0}^n \frac{n!}{r!(n-r)!} a^r b^{n-r} \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{n=0}^{\infin} \sum\limits_{r=0}^n \frac{a^r b^{n-r}}{r!(n-r)!} \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{r=0}^{\infin} \sum\limits_{n=r}^{\infin} \frac{a^r b^{n-r}}{r!(n-r)!} \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{r=0}^{\infin} \frac{a^r}{r!} \sum\limits_{n=r}^{\infin} \frac{b^{n-r}}{(n-r)!} \ (m \, \equiv \, n-r) \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{r=0}^{\infin} \frac{a^r}{r!} \sum\limits_{m=0}^{\infin} \frac{b^m}{m!} \\
&\scriptstyle = e^a e^b \quad //
\end{align}</math></ref>に対応していることが分かる<ref name="複素関数を学ぶ人のために" />。
 
オイラーの公式を利用してにより、三角関数を複素指数関数に置き換えるで表すことができる。たとえば余弦関数正弦関数について直接的に、
:<math>\begin{align}
\cos z &= \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \\
\sin z &= \frac{e^{iz} -e^{-iz}}{2i}
\end{align}</math>
いう表現が得られる。
 
== 証明 ==
この公式には、[[#指数関数と三角関数|上記の冪級数展開による証明]]の他にも異なる幾通りかの証明が知られている。ここにいくつかの例を挙げる。ただし、以下の[[微分]]を用いた証明については、実変数を複素数変数におき換えても、これらの議論が成立していることを、別途で証明する必要がある([[複素解析]]論)
 
=== 微分による証明 ===
\cos n\theta
&=\sum_{k=0}^{\left[\tfrac{n}{2}\right]} (-1)^k\binom{n}{2k}\ (\cos \theta)^{n-2k}(\sin \theta)^{2k}\\
&=\sum_{k=0}^{\left[\tfrac{n}{2}\right]} (-1)^k\binom{n}{2k}\ (\cos \theta)^{n} (\tan \theta)^{2k}
\end{align}</math>
を得る。これが {{math|cos&thinsp;''θ''}} の [[三角関数の公式の一覧#倍角公式|{{mvar|n}} 倍角の公式]]の閉じた表示式である({{math|[''s'']}} は {{mvar|s}} の[[整数部分]])。
この式において {{math|''nθ'' {{=}} ''x''}} と置き換えると
:<math>\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k}
\left(\cos \frac{x}{n}\right)^{n} \left(\tan \frac{x}{n}\right)^{2k}.</math>
[[加法|和]]の上端を {{math|&infin;}} に書き直したが、{{math|''k'' &gt; ''n''/2}} のとき[[二項定理#概要|二項係数]]の部分が {{math|0}} になるので、これは {{math|{{sfrac|''n''|2}}}} までの和に等しい。
{{math|''n'' → &infin;}} の[[極限]]においては
:<math>
\sin x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\binom{n}{2k+1}
\left (\cos \frac{x}{n}\right)^{n} \left (\tan \frac{x}{n} \right)^{2k+1}
</math>
より
が得られる。
ここで、{{math|''n'' → &infin;}} の極限を取った際の誤差項の挙動を考えると
:<math>\cos \frac{x}{n} = 1+a_{n}a_n</math>
とおけば
:<math>\begin{align}
\left(\cos \frac{x}{n} \right)^n
&= \left(1+a_{n} \right)^n\\
&= 1+na_{n}na_n +\binom{n}{2}a_{n} a_n^2+ \dotsb
\end{align}</math>
であるから、{{mvar|a{{sub|n}}}} が小さいとき、{{mvar|n}} 乗すると誤差はおよそ {{mvar|n}} 倍されるが、{{mvar|a{{sub|n}}}} が {{math|{{sfrac|1|n}}}} よりも早く {{math|0}} に近づくときには、極限に影響しない。
本議論において
:<math>\begin{align}
a_{n}a_n &=\cos \frac{x}{n}-1\\
&=-2\sin^2 \frac{x}{2n}
\end{align}</math><ref group="注">三角関数の半角公式を利用した。</ref>
であるから
:<math>a_{n}a_n \sim -\frac{x^2}{2n^2}</math>
となる。
したがって、[[ランダウの記号]]を用いて漸近挙動を示せば
:<math>\cos \frac{x}{n}=1+O\left(\frac{1}{n^2}\right).</math>
ゆえに
:<math>\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\cos \frac{x}{n} \right)^n=1.</math>
ここで、ド・モアブルの定理に立ち返って
:<math>\cos n\theta+i\sin n\theta = (\cos \theta+i\sin \theta)^n.</math>
{{脚注ヘルプ}}
=== 参照 ===
{{reflistReflist|refs=
<ref name="野海正俊">[http://www.sci.kobe-u.ac.jp/old/seminar/pdf/noumi2007.pdf オイラーの数学から — 『無限解析序説』への招待 - 野海 正俊]</ref>
<ref name="複素数の取り扱い">[http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/~member/noro/KikanButsuri_IA/4_keiji.pdf 複素数の取り扱いとオイラーの公式]</ref>
 
=== 注釈 ===
{{reflistReflist|group="注"}}
 
== 参考文献 ==
匿名利用者