「ディリクレの関数」の版間の差分

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: <math>\sup \int^a_b f(x)dx=a-b</math>
: <math>\inf \int^a_b f(x)dx=0</math>
が成り立つから、(sup&int; を[[上積分]]、inf&int; を[[下積分]]という)ディリクレの関数はリーマン[[積分]]不可能であることが分かる。([[ルベーグ積分]]は可能で、その値は 0 である。これは、[[可算無限集合]]である ℚ は[[ルベーグ測度]]に関して零集合であることによる)ディリクレの関数は数学者の[[ペーター・グスタフ・ディリクレ]]に因んで命名された<ref>{{citation| first = Peter Gustav | last = Lejeune Dirichlet | title = Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données| journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume = 4 | year = 1829 | url = http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=PPN243919689_0004%7Clog13 | pages = 157–169}} [https://books.google.de/books?id=ZKwGAAAAYAAJ&pg=PA157 Google Books]; {{arXiv|0806.1294}} </ref>。
 
==周期性==
ディリクレの関数は、[[ペーター・グスタフ・ディリクレ|ディリクレ]]本人によって、
: <math>f(x)=\lim_{n\to \infin} \lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (n!\, \pi x)</math>
と表せることが示されている<ref>{{citation| first = Peter Gustav | last = Lejeune Dirichlet | title = Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données| journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume = 4 | year = 1829 | url = https://eudml.org/doc/183134 | pages = 157–169}} </ref>(したがってディリクレ関数は 2 階の[[ベール関数]]の一例である)。その方法は次による。
 
任意の有理数 {{Mvar|q}} を考える。[[階乗|{{Mvar|n}}!]] {{Mvar|q}} は、十分大きな {{Mvar|n}} に対して恒等的に[[整数]]である。それに比べ、無理数 {{Mvar|r}} は、いくら {{Mvar|n}} を大きく取っても {{Mvar|n}}! {{Mvar|r}} が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。