「絶対値」の版間の差分

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[[File:Absolute value.svg|thumb|絶対値函数のグラフ]]
[[Image:Absolute value composition.svg|256px|thumb|[[三次函数]]と絶対値函数の異なる順番での[[写像の合成|合成]]]]
実数の絶対値が定める非負実数値函数 <{{math>\mathbb |'''R''' \ni ''x'' \{{mapsto}} {{abs|''x| \in''}} \mathbb R_'''R'''{{sub|+ </math> }}}} は至る所[[連続函数|連続]]で、<{{math> |1=''x'' =0 </math>0}} を除き至る所[[微分可能]]{{efn|ただし、この微分可能性は複素微分可能を意味しない。つまり、複素変数の絶対値函数は[[コーシー–リーマンの方程式]]を満たさない{{R|MathWorld}}。}}である。また、区間 <math> ({{open-\infty closed|−∞,0 ] </math>}} 上で[[単調写像|単調減少]]であり、区間 <math>[ {{closed-open|0,\infty) </math>+∞}} で単調増加である。各実数とその[[反数]]の絶対値は同じ値であるから、絶対値函数は[[偶函数]]であり、それゆえ[[逆函数]]を持たない。この実絶対値函数は[[区分線型関数|区分線型]][[凸函数]]である。また、[[冪等]]である。
 
* [[符号数]] <{{math> \sgn |sign(''x</math>'')}} を用いれば、<{{math> |x|1={{abs|''x\cdot''}} \sgn= ''x</math>、また <math>x=|''&sdot;sign(''x|\cdot'')}} \sgn x</math>と書ける。<また {{math>|1=''x'' = {{abs|''x''}}&sdot;sign(''x'')}} であり、{{math|''x'' \ne 0 </math>}} のとき <{{math> \sgn |1=sign(''x'') =\frac{ ''x}''/{{abs|''x|''}} =\frac {{abs|''x|''}{}/''x''}} </math> が成り立つ。
 
<{{math> |''x\ne'' ≠ 0</math>}} における導函数
: <math>\frac{d}{dx}|x|/dx = \begin{cases} 1 & (x>0)\\ -1 & (x<0)\end{cases}</math>
<math>\sgn x </{{math>|sign(''x'')}}(あるいは本質的に[[ヘヴィサイドの階段関数]]<ref name="MathWorld">{{MathWorld|urlname=AbsoluteValue|title=Absolute Value}}</ref>{{sfn|Bartle|Sherbert|2011|p=163}})であり、定義可能な範囲 <{{math>|(-\infty&minus;&infin;, 0) \&cup; (0, \infty&infin;)</math>}} における連続函数であるが、<{{math>|1=''x'' = 0</math>}} における値をどのように定めるとしても <math>\mathbb {{mathbf|R</math>}} 全体で連続な函数へ延長することは出来ない。
* <{{math>|1=''x'' = 0</math>}} における <{{math>|{{abs|''x|</math>''}}}} の[[劣微分|劣微分係数]]は、区間 <math>[{{closed-1closed|−1,1]</math>}} である<ref>{{citation|first=Peter |last=Wriggers |editor-first= Panagiotis |editor-last= Panatiotopoulos |title= New Developments in Contact Problems |year= 1999 |isbn=3-211-83154-1}}</ref>{{rp|{{google books quote|id=tiBtC4GmuKcC|pg=PA31|31–32}}}}。
* <{{math>|{{abs|''x|</math>''}}}}<math>{{mvar|x</math>}} に関する二階導函数は <{{math>|1=''x'' = 0</math>}} を除く至る所存在して零に等しい(<{{math>|1=''x'' = 0</math>}} では存在しない)。しかし[[シュヴァルツ超函数|超函数微分]]の意味での二階導函数は[[ディラックデルタ]]の二倍に等しい。
 
また絶対値函数は任意区間で可積分であり、その原始函数が
: <math>\int |x|\,dx = \frac{1}{2}x|x| + C</math>
で与えられることも右辺を微分することにより直ちに確かめられる。
 
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