「代数方程式」の版間の差分

4 次以下の方程式には代数的解法による解の公式があることが知られている。5 次より高次の方程式にも超越的方法による解の公式が存在する。よく誤解されていることであるが、一般に言われる「五次方程式は一般には解けない」というのは、代数的解法による解の公式が存在しないことを指しており、全ての代数的数が、考えている代数方程式の係数から、四則演算と冪乗根を取る操作を有限回繰り返すだけで得られるわけではないということである。これは[[パオロ・ルフィニ|ルフィニ]]や[[ニールス・アーベル|アーベル]]により示された事実である。その意味で代数的数全体の集合は広い。代数的数という名前に惑わされがちだが、代数的数は必ずしも代数的方法で得られるものばかりではない。

しかし、[[エヴァリスト・ガロア|ガロア]]が楕円モジュラー関数を用いる超越的方法では一般的解法が存在することを予言し、その遺書に書き残している。ガロアの死後、[[エルミート]]は、楕円モジュラー関数による五次方程式の解の公式を導いた。