「平行軸の定理」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
不自然な日本語の訂正 タグ: モバイル編集 モバイルウェブ編集 |
翻訳修正 |
||
1行目:
'''平行軸の定理'''('''ホイヘンス–スタイナーの定理'''もしくは単に'''スタイナーの定理'''とも言われる<ref>{{cite book | title=Introduction to theoretical physics | author=Arthur Erich Haas | year=1928}}</ref>。[[クリスティアーン・ホイヘンス]]と{{仮リンク|ヤコブ・スタイナー|en|Jakob Steiner}}に由来)
==質量慣性モーメント==
[[File:Steiner.png|thumb|right|ある軸周りの質量慣性モーメントは、重心を通る平行軸周りの質量慣性モーメントから求めることができる。]]
質量 {{math|''m''}} の物体が
:<math> I = I_\mathrm{cm} + md^2</math>
となることを述べている。
平行軸の定理を{{仮リンク|ストレッチ則|en|Stretch rule}}と{{仮リンク|垂直軸の定理|en|Perpendicular axis theorem}}に適用することで、様々な形の慣性モーメントを求めることができる。
[[Image:Parallelaxes-1.png|thumb|right|断面慣性モーメントに対する平行軸の定理]]
===導出===
[[一般性を失うことなく]]、[[デカルト座標系]]において重心は原点にあり、重心を通る回転軸
:<math>I_\mathrm{cm} = \int (x^2 + y^2) \, dm</math>
で、軸 {{math|''z′''}} に対する慣性モーメントは
:<math>I = \int \left[(x + d)^2 + y^2\right] \, dm</math>
で求められる。かっこを展開すると
:<math>I = \int (x^2 + y^2) \, dm + d^2 \int dm + 2d\int x\, dm</math>
となる。1番目の項は {{math|''I''<sub>cm</sub>}} であり、2番目の項は {{math|''md''<sup>2</sup>}} となる。最後の項の積分は重心が原点にあるため 0 である。したがって平行軸の定理が導かれる。
:<math> I = I_\mathrm{cm} + md^2.</math>
=== テンソルによる一般化 ===
平行軸の定理は[[慣性テンソル]]を用いることで一般化することができる。重心を基準とした物体の慣性テンソルを {{math|''I<sub>ij</sub>''}} とする。すると、新しい点に関して計算される慣性テンソル {{math|''J<sub>ij</sub>''}} は
:<math>J_{ij}=I_{ij} + m\left(|\mathbf{R}|^2 \delta_{ij}-R_i R_j\right)</math>
となる。ここで <math>\mathbf{R}=R_1\mathbf{\hat{x}}+R_2\mathbf{\hat{y}}+R_3\mathbf{\hat{z}}\!</math> は重心から新たな点までの[[変位]]ベクトル、{{math|δ<sub>''ij''</sub>}} は[[クロネッカーのデルタ]]である。
対角要素(すなわち{{math|''i'' {{=}} ''j''}}の要素)に対して、回転軸と変位ベクトルが垂直であれば、上記の単純化した平行軸の定理が得られる。
一般化された平行軸の定理は、次のように座標系によらない形で表すことができる。
:<math> \mathbf{J} = \mathbf{I} + m \left[\left(\mathbf{R} \cdot \mathbf{R}\right) \mathbf{E}_{3} - \mathbf{R} \otimes \mathbf{R} \right].</math>
ここで'''E'''<sub>3</sub>は{{nobr|3 × 3}}の[[単位行列]]、<math>\otimes</math>は[[直積 (ベクトル)|直積]]である。
さらに一般化すると基準軸の組 {{math|''x'', ''y'', ''z''}} が重心を通るか否かに関係なく、これらに平行な任意の直交軸の組 {{math|''x''′, ''y''′, ''z''′}} についての慣性テンソルが得られる<ref name="Abdulghany">A. R. Abdulghany, American Journal of Physics 85, 791 (2017); doi: https://dx.doi.org/10.1119/1.4994835 .</ref>。
==面積慣性モーメント==
平行軸の定理は平面領域 {{math|''D''}} の[[断面二次モーメント]](面積慣性モーメント)にも適用される。
:<math>I_z = I_x + Ar^2,</math>
ここで {{math|''I<sub>z</sub>''}} は平行軸に対する {{math|''D''}} の面積慣性モーメント、{{math|''I<sub>x</sub>''}} は[[幾何中心]]に対する {{math|''D''}} の面積慣性モーメント、{{math|''A''}} は平面領域 {{math|''D''}} の面積、{{math|''r''}} は新たな軸 {{math|''z''}} から {{math|''D''}} の幾何中心までの距離である。
{{math|
==平面力学に対する極慣性モーメント==
[[File:Steiners sats.PNG|thumb|right|
平面と平行に動く
質量中心 {{math|'''R'''}} には
:<math> \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R}) \, dV=0 </math>
という性質がある。ここで {{math|'''r'''}} は物体の体積 {{math|''V''}} にわたって積分される。平面運動をしている物体の極慣性モーメントは、任意の基準点 {{math|'''S'''}} に対して計算することができる。
: <math> I_S = \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{S})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{S}) \, dV.</math>
慣性モーメント {{math|''I''<sub>R</sub>}} を用いて慣性モーメント {{math|''I''<sub>S</sub>}} を求めるために、{{math|'''S'''}} から質量中心 {{math|'''R'''}} へのベクトル {{math|'''d''' {{=}} '''R'''−'''S'''}} を導入すると、
: <math>
\begin{align}
I_S & = \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R}+\mathbf{d})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{R}+\mathbf{d}) \, dV \\
& = \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{R})dV + 2\mathbf{d}\cdot\left(\int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R}) \, dV\right) + \left(\int_V \rho(\mathbf{r}) \, dV\right)\mathbf{d}\cdot\mathbf{d}
\end{align}
</math>
となる。最初の項は {{math|''I''<sub>R</sub>}}、2番目の項は質量中心の定義により0、最後の項は物体に総質量 {{math|''M''}} にベクトル {{math|'''d'''}} の大きさの2乗をかけたものである。したがって
:<math> I_S = I_R + Md^2</math>
となる。これは平行軸の定理として知られているものである<ref>{{Citation |first=Burton |last=Paul |year=1979 |title=Kinematics and Dynamics of Planar Machinery |publisher=[[Prentice Hall]] |isbn=978-0-13-516062-6 |doi= }}</ref>。
==慣性モーメント行列==
剛体粒子
次の式
:<math> [I_S] = -\sum_{i=1}^n m_i[r_i-S][r_i-S],</math>
で与えられる、基準点 {{math|'''S'''}} に対して測定された剛体粒子系の慣性行列 {{math|[''I''<sub>S</sub>]}} を考える。ここで {{math|'''r'''<sub>''i''</sub>}} は粒子 {{math|''P''<sub>''i''</sub>}} の位置を表す({{math|''i'' {{=}} 1, ..., ''n''}})。{{math|[''r''<sub>''i''</sub> − ''S'']}} はクロス積を表現するための[[歪対称行列]]であり、任意のベクトル {{math|'''y'''}} に対して
:<math> [r_i -S]\mathbf{y} = (\mathbf{r}_i - \mathbf{S})\times \mathbf{y}</math>
となる。
{{math|'''R'''}} を剛体系の質量中心とすると
:<math> \mathbf{R} = (\mathbf{R}-\mathbf{S}) + \mathbf{S} = \mathbf{d} + \mathbf{S}</math>
である。ここで {{math|'''d'''}} は基準点 {{math|'''S'''}} から質量中心 {{math|'''R'''}} へのベクトルである。慣性行列を計算するには、次の式を使用する。
:<math> [I_S] = -\sum_{i=1}^n m_i[r_i- R + d][r_i - R+ d].</math>
この式を展開すると
: <math> [I_S] = \left(-\sum_{i=1}^n m_i [r_i - R][r_i - R]\right) + \left(-\sum_{i=1}^n m_i[r_i - R]\right)[d] + [d]\left(-\sum_{i=1}^n m_i[r_i - R]\right) + \left(-\sum_{i=1}^n m_i\right)[d][d]</math>
が得られる。最初の項は質量中心に対する慣性行列 {{math|[''I''<sub>R</sub>]}} である。第2項、第3項は質量中心 {{math|'''R'''}} の定義により0となる。つまり
:<math> \sum_{i=1}^n m_i(\mathbf{r}_i -\mathbf{R}) = 0</math>
である。最後の項は系の総質量 {{math|''M''}} に {{math|'''d'''}} から作られる歪対称行列 {{math|[''d'']}} の2乗をかけたものである。
結果、平行軸の定理は
:<math> [I_S] = [I_R] - M[d]^2</math>
となる<ref name="Kane"/>。
===歪対称行列に対する恒等式===
歪対称行列を用いた平
位置ベクトル {{math|'''R''' {{=}} (''x'', ''y'', ''z'')}} に関連する歪対称行列を {{math|[''R'']}} とおくと、慣性行列に現れる積は
:<math> -[R][R]= -\begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix}
y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -y x & x^2+z^2 & -yz \\ -zx & -zy & x^2+y^2 \end{bmatrix}
となる。この積は、直積 {{math|['''R''' '''R'''<sup>T</sup>]}} により形成される行列を使用し、次の恒等式を使って計算できる。
:<math> -[R]^2 = |\mathbf{R}|^2[E_3] -[\mathbf{R}\mathbf{R}^T]=
\begin{bmatrix} x^2+y^2+z^2 & 0 & 0 \\ 0& x^2+y^2+z^2 & 0 \\0& 0& x^2+y^2+z^2 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix}x^2 & xy & xz \\ yx & y^2 & yz \\ zx & zy & z^2\end{bmatrix}
ここで {{math|[''E''<sub>3</sub>]}} は3 × 3単位行列である。
また、
:<math> |\mathbf{R}|^2 = \mathbf{R}\cdot\mathbf{R} =\operatorname{tr}[\mathbf{R}\mathbf{R}^T]</math>
である。trは[[跡 (線型代数学)|トレース]]であり、直積行列の対角要素の和を表す。
==脚注==
{{reflist}}
==関連項目==
149 ⟶ 108行目:
* {{仮リンク|剛体力学|en|Rigid body dynamics}}
* {{仮リンク|ストレッチ則|en|Stretch rule}}
==外部リンク==
159 ⟶ 115行目:
*[https://www.youtube.com/watch?v=mFVz7iCc45I Video about the inertia tensor]
{{DEFAULTSORT:へいこうしくのていり}}
[[Category:力学]]
[[Category:物理学の定理]]
|