「無限次元空間における不動点定理」の版間の差分

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[[数学]]において、[[ブラウワーの不動点定理]]の一般化である'''無限次元空間における不動点定理'''(むげんじげんくうかんにおけるふどうてんていり、{{Lang-en-short|Fixed-point theorems in infinite-dimensional spaces}})は数多く存在する。それらは例えば、[[偏微分方程式]]の解に対する[[存在定理]]の証明に応用される。
 
この分野における第一の結果は、1930年に{{仮リンク|ユリウス・シャウダー|en|Juliusz Schauder}}によって証明された[[シャウダーの不動点定理]]である(別の流派におけるそれ以前の結果として、1922年に証明された[[完備距離空間]]における[[縮小写像]]に対する[[バナッハの不動点定理]]がある)。これ以降、多くの結果が証明された。この種の不動点定理が数学の分野全体に多大な影響を持つこととなった一つの理由は、有限の[[単体的複体]]に対してはじめに証明される[[代数的位相幾何学]]の手法を、無限次元の空間に対して拡張することの出来る手法の存在であった。例えば、[[層 (数学)|層論]]を発見した{{仮リンク|[[ジャン・ルレイ|en|Jean Leray}}]]の研究は、シャウダーの業績を拡張することから始まった。
 
<blockquote>'''[[シャウダーの不動点定理]]:''' ''C'' を、[[バナッハ空間]] ''V'' の[[空集合|空でない]][[閉集合|閉]][[凸集合|凸]]部分集合とする。''f'' : ''C'' → ''C'' が[[コンパクト空間|コンパクト]]な像を持つ[[連続写像|連続函数]]であるなら、''f'' は不動点を持つ。</blockquote>
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