「パスカルの三角形」の版間の差分
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'''パスカルの三角形'''（パスカルのさんかくけい、{{lang-en-short|Pascal's triangle}}）は、[[二項展開]]における[[係数]]を[[三角形]]状に並べたものである。[[ブレーズ・パスカル]]（1623年 - 1662年）の名前がついているが、実際にはパスカルより何世紀も前の数学者たちも研究していた。
この三角形の作り方は単純なルールに基づいている。まず最上段に 1 を配置する。それより下の段は両端には 1 を、それ以外の位置には右上の数と左上の数の和を配置する。例えば、5段目の左から2番目には、左上の 1 と右上の 3 の合計である 4 が入る。このようにして数を並べると、上から ''n'' 段目、左から ''k'' 番目の数は、[[二項係数]]
{{indent|<math>{n-1 \choose k-1} = {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}</math>}}
に等しい。これは、パスカルによって示された以下の式に基づいている。
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となる。
この三角形の奇数の部分を塗りつぶすと[[シェルピンスキーのギャスケット
二項係数は[[組合せ (数学)|組合せ]]の数でもあるので、[[組合せ数学]]においてもパスカルの三角形は有用である。''n'' 個のものから異なる ''k'' 個選ぶ選び方 <sub>''n''</sub>''C''<sub>''k''</sub> の値は、パスカルの三角形の (''n'' + 1) 段目の端から (''k'' + 1) 番目の数に等しい。1 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1 の場合、これは ''n'' − 1 次元単体の ''k'' − 1 次元面の数でもある。例えば5段目の端から2番目の4は四面体（3次元単体）の頂点（0次元面）の数、3番目の6は辺（1次元面）の数、4番目の4は面（2次元面）の数である。これは四面体の場合、二つの頂点を結ぶ線分の集合は辺の集合に等しく、三つの頂点を結ぶ三角形の集合は面の集合に等しいためである。
== パスカルの三角形の性質 ==
パスカルの三角形の最も
* 頂上から右下・左下の方向へ並ぶ数字はすべて1である。
* 2段目の 1 から右下・左下の方向（すべて1の方向を除く。以下同じ）には[[自然数]]の列が現れる。
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* 前項までと同じ内容を次のように表現してもよい。（頂点と両辺に並んだ）1を除くすべての数は、その右上から左上端まで伸びる数列の総和に等しく、左上から右上端まで伸びる数列の総和に等しい。例えば6段目の左から3番目の10は、右上の6とその左上の3, その左上の1の総和に等しく、左上の4とその右上の3, その右上の2, その右上の1の総和に等しい。これは10が4番目の三角数であり、3番目の三角錐数であることと等価である。
* 偶数段目の中央の数（左右2個存在する）に限り、左は右上から右上端まで、右は左上から左上端まで伸びる数列の総和とも等しい。例えば6段目の中央数10は1, 3, 6の総和となる。数列の最初は1、最後は奇数段目の中央数（1個のみ）である。<div style="margin-top:1ex; margin-left:2em; margin-bottom:1ex;"><math> \quad \textrm{tri}_{n-1}(n+1) = \sum_{i=1}^n \mathrm{tri}_{n-1}(i). </math></div>
* ''n'' 次元単体数の[[逆数]]を[[部分分数分解
三角形の各数字が最上段の位置を頂点とした斜めの格子の上にあると仮定したとき、各数字は最上段の1から格子の線を通って最短距離でその場所に着く経路の数となる。
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