「正則行列」の版間の差分

余因子行列
(余因子行列)
:<math>AB = E = BA</math>
を満たす {{mvar|n}} 次[[正方行列]] {{mvar|B}} が存在するとき、{{mvar|A}} は {{mvar|n}} 次'''正則行列'''、あるいは単に'''正則'''であるという<ref>{{mvar|A}} が正方行列でなくとも正則性は次のように定義できる:
「{{mvar|m×n}} 行列 {{mvar|A}} に対して、{{math|''AB'' {{=}} ''E''{{sub|''m''}}}} かつ {{math|''BA'' {{=}} ''E''{{sub|''n''}}}} を満たす {{mvar|n×m}} 行列 {{mvar|B}} が存在するとき、 {{mvar|A}} を正則という」。
しかし、このとき
:<math>\max\{m,n\}=\max\{\operatorname{rank}E_m,\operatorname{rank}E_n\}=\max\{\operatorname{rank}AB,\operatorname{rank}BA\}\leq \operatorname{rank}A\leq\min\{m,n\}</math>
より {{math|''m'' {{=}} ''n''}} となるので、結局正則行列ならば正方行列なのである。</ref>。{{mvar|A}} が正則ならば上の性質を満たす {{mvar|B}} は一意に定まる。
これを {{mvar|A}} の'''逆行列'''(ぎゃくぎょうれつ、{{lang-en-short|inverse matrix}})と呼び、{{math|''A''{{sup|&minus;1}}}} と表す{{Sfn|斎藤|1966|p=41}}。
 
* {{math|(''A''<sup>&minus;1</sup>)<sup>&minus;1</sup> {{=}} ''A''}}
* {{math|(''AB'')<sup>&minus;1</sup> {{=}} ''B''<sup>&minus;1</sup>''A''<sup>&minus;1</sup>}}
* {{mvar|A}} の[[余因子行列]]を {{math|{{tilde|''A''}}}} とおくと {{math|''A''{{sup|&minus;1}} {{=}} {{!}}''A''{{!}}{{sup|&minus;1}} {{tilde|''A''}}}}
* {{mvar|n}} 次正方行列 {{mvar|N}} が[[冪零行列]]ならば {{math|''I'' &minus; ''N''}} は正則で、逆行列は {{math|''I'' + ''N'' + &hellip; + ''N''<sup>''n'' &minus; 1</sup>}} である{{Sfn|斎藤|1966|p=71}}