「小行列式」の版間の差分

 

 

=== {{math|(''i'', ''j'')}} 小行列式 ===

[[正方行列]] {{mvar|A}} の {{math|(''i'', ''j'')}} '''小行列式''' (minor, first minor<ref>Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) ''[http://books.google.com/books?id=BhgPAAAAIAAJ&pg=PA239&lpg=PA239&dq=first+minor+determinant&source=web&ots=BqWTlFMGIB&sig=aeCdnU1sARW9tshE_zhirJZ5dRU&hl=en Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form]''.</ref>) とは、第 {{mvar|i}} 行と第 {{mvar|j}} 列を除いて得られる[[部分行列]]の[[行列式]]のことである。この数はしばしば {{mvar|M{{sub|i,j}}}} と書かれる。{{math|(''i'', ''j'')}} '''余因子''' (cofactor) とは、小行列式に {{math|(−1){{sup|''i''+''j''}}}} を掛けて得られる値のことである。

符号は <math>(-1)^{\sum\limits_{s=1}^k i_s - \sum\limits_{s=1}^k j_s}</math> であることが計算できる．符号は {{math|''I'', ''J''}} の元の和によっても決定される．

 

 

*[[エルミート行列]]に対して，leading principal minor は[[正定値行列|正定値性]]の判定に使うことができ，主小行列式は半正定値性の判定に使うことができる．詳細は{{仮リンク|シルヴェスターの判定法|en|Sylvester's criterion}}を参照．

 

が成り立つ，ただし和は {{mvar|k}} 個の元を持つ {{math|{{mset|1, ..., ''n''}}}} の部分集合 {{mvar|K}} 全体を走る．この公式はコーシー・ビネの公式の直截的拡張である．

 

よりシステマティックには，小行列式の概念の代数学的な扱いは[[ウェッジ積]]を用いて[[多重線型代数]]において与えられる：行列の {{mvar|k}} 次小行列式は {{mvar|k}} 次[[外冪]]写像の成分である．

 

行列の列が一度に {{mvar|k}} 回一緒にウェッジされると，{{math|''k'' × ''k''}} 小行列式は得られる {{mvar|k}} 次元ベクトルの成分として現れる．例えば，行列

:<math>\begin{pmatrix}

\end{pmatrix}</math>

の {{math|2 × 2}} 小行列式は {{math|&minus;13}}（最初の2行から），{{math|&minus;7}}（最初と最後の行から），{{math|5}}（最後の2行から）である．さてウェッジ積

A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}

\end{bmatrix} </math>

''adjunct'' は adjugate や [[随伴行列|adjoint]] ではないことに注意．現代の用語では，行列の "adjoint" は対応する[[随伴作用素]]を指すことが最も多い．

 

== 関連項目 ==

 

== 外部リンク ==