「小行列式」の版間の差分

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[[数学]]の[[線型代数学]]において、[[行列]] {{mvar|A}} の'''小行列式'''(しょうぎょうれつしき、{{lang-en-short|minor, minor determinant}})とは、{{mvar|A}} から1列以上の行または列を除いて得られる小さい[[正方行列]]の[[行列式]]のことである。
 
正方行列から行と列をただ1つずつ取り除いて得られる小行列式('''first minors'''; 第一小行列式)は行列の'''余因子''' (cofactor) を計算するのに必要で、これは正方行列の行列式や[[逆行列]]の計算に有用である
 
== 定義と説明 ==
=== {{math|(''i'', ''j'')}} 小行列式 ===
[[正方行列]] {{mvar|A}} の {{math|(''i'', ''j'')}} '''小行列式''' (minor, first minor<ref>Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) ''[http://books.google.com/books?id=BhgPAAAAIAAJ&pg=PA239&lpg=PA239&dq=first+minor+determinant&source=web&ots=BqWTlFMGIB&sig=aeCdnU1sARW9tshE_zhirJZ5dRU&hl=en Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form]''.</ref>) とは、第 {{mvar|i}} 行と第 {{mvar|j}} 列を除いて得られる[[部分行列]]の[[行列式]]のことである。この数はしばしば {{mvar|M{{sub|i,j}}}} と書かれる。{{math|(''i'', ''j'')}} '''余因子''' (cofactor) とは、小行列式に {{math|(−1){{sup|''i''+''j''}}}} を掛けて得られる値のことである。
 
例えば、次の 3次正方行列を考える:
 
元々の {{mvar|A}} の行・列を具体的に指定して表記するには、{{math2|1 ≤ ''i''{{sub|1}} < ''i''{{sub|2}} < … < ''i{{sub|k}}'' ≤ ''m'', 1 ≤ ''j''{{sub|1}} < ''j''{{sub|2}} < … < ''j{{sub|k}}'' ≤ ''n''}} に対して、それらをそれぞれ {{math2|''I'', ''J''}} と呼ぶことにすると、これらの添え字から得られる小行列式 <math>\det((A_{i_p, j_q})_{p,q=1,\cdots,k})</math> は
:{{math2|det{{sub|''I'',''J''}}''A'', [''A'']{{sub|''I'',''J''}}, ''M''{{sub|''I'',''J''}}, ''M''{{sub|''i''{{sub|1}}, ''i''{{sub|2}}, ..., ''i{{sub|k}}'', ''j''{{sub|1}}, ''j''{{sub|2}}, ..., ''j{{sub|k}}''}}, ''M''{{sub|(''i''),(''j'')}}}}
などと書かれる({{math|(''i'')}} は添え字の列 {{mvar|I}} を表す)。注意しないといけないのは、文献・著者によって全く逆の2種類の意味を指すことがあることである。著者<ref>Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9</ref>によっては、{{math2|''I'', ''J''}} のどちらにも属している成分から作られる行列の行列式を意味し、著者<ref>Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1</ref>によっては、{{math2|''I'', ''J''}} に対応する行・列を除いて得られる行列の行列式を意味する。この記事では前者({{mvar|I}} の行と {{mvar|J}} の列から元を選ぶ)の方の定義を用いる。例外的な場合は {{math|(''i'', ''j'')}}小行列式の場合である;この場合、取り除く方の表記 <math>M_{i,j} = \det(( A_{p,q})_{p \neq i, q \neq j})</math> がどの文献でも標準的であり、この記事においても用いる。
 
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