「小行列式」の版間の差分

 
記号 {{math|[''A'']{{sub|''I'',''J''}}}} は上の通りとする.
* {{math2|''I'' {{=}} ''J''}} のとき{{math|[''A'']{{sub|''I'',''J''}}}} は'''主小行列式''' (principal minor) と呼ばれる
* 主小行列式に対応する行列がもとの行列の左上の正方形の部分である(すなわち行の番号それぞれ {{math2|{{mset|1, …, ''k''}}}})とき、主小行列式は'''首座小行列式''' (leading principal minor (of order k), corner (principal) minor (of order k)) と呼ばれる<ref>Minor. Encyclopedia of Mathematics. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176</ref>。{{mvar|n}}次正方行列に対しては、{{math|''n'' + 1}} 個の首座小行列式が存在する。
*行列の'''基本小行列式'''とは、{{math|0}} でない小行列式で次数が最大のもののことである<ref>Minor. Encyclopedia of Mathematics. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176</ref>。
*[[エルミート行列]]に対して、首座小行列式は[[正定値行列|正定値性]]の判定に使うことができ、主小行列式は半正定値性の判定に使うことができる。詳細は{{仮リンク|シルヴェスターの判定法|en|Sylvester's criterion}}を参照。
 
通常の[[行列の乗法]]の公式と2つの行列の積の行列式の[[コーシー・ビネの公式]]は、{{math|''m'' × ''n''}}行列もに,2つの {{math|''n'' × ''m''}} 行列の積の行列式について成り立つ等式であるが、これを次の一般的な主張の特別な場合に拡張することが
 
{{mathbf|A}} を {{math|''m'' × ''n''}} 行列 {{mathbfmvar|BA}}{{math|''n'' × ''pl''}} 行列 {{mvar|B}} に対て、{{mvar|I}} を {{mvar|k}} 個の元からなる {{math|{{mset|1, …, ''m''}}}} の[[部分集合]]とし{{mvar|J}} を {{mvar|k}} 個の元からなる {{math|{{mset|1, …, ''pl''}}}} の部分集合とするこのとき
:<math>[\mathbf{AB}]_{I,J} = \sum_{K}textstyle\sum\limits_K [\mathbf{A}]_{I,K} [\mathbf{B}]_{K,J}\,</math>
が成り立つただし、総の添え字 {{mvar|K}} は {{mvar|k}} 個の元を持つ {{math|{{mset|1, …, ''n''}}}} の部分集合 {{mvar|K}} 全体を走るこの公式はコーシー・ビネの公式の直截的拡張である.
 
== 多重線型代数アプローチ ==
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