「小行列式」の版間の差分

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:{{math2|1=''J'' = {{mset|''j''{{sub|1}}, ''j''{{sub|2}}, …, ''j{{sub|k}}''}}}} &nbsp;ただし {{math2|1 ≤ ''j''{{sub|1}} < ''j''{{sub|2}} < … < ''j{{sub|k}}'' ≤ ''n''}}
とすると
:<math>[A^{-1}]_{I,J} = \frac{(-1)^{\sum\limits_{s=1}^k i_s -+ \sum\limits_{s=1}^k j_s}}{\det A} [A]_{J',I'}</math>
ここで、{{math2|''I''&prime;, ''J''&prime;}} はそれぞれ {{math2|''I'', ''J''}} の全体集合 {{math2|{{mset|1, 2, …, ''n''}}}} における補集合を表す。
 
 
単純な証明は[[ウェッジ積]]を用いて与えることができる。実際、
:<math>[A^{-1}]_{I,J} (e_1\wedge\ldotscdots \wedge e_n) = \pm ( A^{-1}e_{j_1}) \wedge \cdots \wedge (A^{-1}e_{j_k}) \wedge e_{i'_1} \wedge \cdots \wedge e_{i'_{n-k}}</math>
 
である。ただし <math>e_1,\cdots,e_n</math> は基底ベクトルである。{{mvar|A}} を両辺に作用させると
:<math>\begin{align}
&=\pm [A]_{J',I'}(e_1 \wedge \cdots \wedge e_n)
\end{align}</math>
符号は <math>(-1)^{\sum\limits_{s=1}^k i_s -+ \sum\limits_{s=1}^k j_s}</math> であることが計算できる。(証明終)
 
=== 他の応用 ===
 
== 異なる表記についての注意 ==
文献や著者によっては<ref>[[Felix Gantmacher]], ''Theory of matrices'' (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p.491,</ref>、余因子行列 (adjugate matrix) の代わりに "cofactor matrix" が使われている。この表記では、逆行列は次のように書かれる:
:<math>A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix}
\widetilde{a}_{11} &\widetilde{a}_{12} &\cdots &\widetilde{a}_{1n} \\
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