「利用者:299b69a/双球座標系」の版間の差分

m
編集の要約なし
タグ: 2017年版ソースエディター
m
で、<math>0 < |\tau| < \infty</math> のときは交差しない2つの球である。なお、<math>\tau = 0</math> は ''xy'' 平面、<math>\tau = \pm \infty</math> は焦点 <math>(0, 0, \pm a)</math> に対応する。
 
<math>\phi</math> の等値面は半平面
 
:<math>y = x \tan \phi</math>
 
で、半平面である。
 
=== 尺度因子微分 ===
双球座標系の[[計量テンソルヤコビ行列]]は
 
:<math>\frac{(x, y, z)}{(\sigma, \tau, \phi)} = \frac{a}{(\cosh \tau - \cos \sigma)^2}
\begin{bmatrix}
(\cos \sigma \cosh \tau - 1) \cos \phi & \sin \sigma \sinh \tau \cos \phi & -(\cosh \tau - \cos \sigma) \sin \sigma \cos \phi \\
(\cos \sigma \cosh \tau - 1) \sin \phi & \sin \sigma \sinh \tau \sin \phi & (\cosh \tau - \cos \sigma) \sin \sigma \sin \phi \\
\sin \sigma \sinh \tau & - \cos \sigma \cosh \tau + 1 & 0 \\
\end{bmatrix}</math>
 
である。したがって[[計量テンソル]]は
 
:<math>\boldsymbol{g} = \frac{a^2}{(\cosh \tau - \cos \sigma)^2}
\end{bmatrix}</math>
 
である。したがって、微小体積要素は
これより、微小体積要素は
 
:<math>dV = d\sigma \, d\tau \, d\phi \, \frac{a^3 \sin \sigma}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^3}</math>
== 応用 ==
双球座標の古典的な応用例は[[偏微分方程式]]である。双球座標系で[[ラプラス方程式]]を[[変数分離]]することはできるが、[[ヘルムホルツ方程式]]は分離できない。たとえば、2つの[[電気伝導体|導体]]球がつくる[[電場]]を双球座標系で解くことができる。
 
== 参考文献 ==
*{{cite book | author = Morse PM, Feshbach H | year = 1953 | title = Methods of Theoretical Physics, Part I | publisher = McGraw-Hill | location = New York | pages = 665&ndash;666}}
*{{cite book | author = Korn GA, Korn TM |year = 1961 | title = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers | publisher = McGraw-Hill | location = New York | page = 182 | lccn = 59014456}}
*{{cite book | author = Zwillinger D | year = 1992 | title = Handbook of Integration | publisher = Jones and Bartlett | location = Boston, MA | isbn = 0-86720-293-9 | page = 113}}
*{{cite book | author = Moon PH, Spencer DE | year = 1988 | chapter = Bispherical Coordinates (η, θ, ψ) | title = Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions | edition = corrected 2nd ed., 3rd print | publisher = Springer Verlag | location = New York | isbn = 0-387-02732-7 | pages = 110&ndash;112 (Section IV, E4Rx)}}
 
 
== 外部リンク ==