「冪零行列」の版間の差分

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== 標準化 ==
<math>E_n</math> を <math>n</math> 次の単位行列として、
:<math>N_1 = 0, N_2 = \begin{pmatrixbmatrix}
0
\end{bmatrix} , N_2 = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrixbmatrix} , N_3 = \begin{pmatrixbmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrixbmatrix} , \cdots , N_n =
\begin{pmatrixbmatrix}
0 & E_{n-1} \\
0 & 0
\end{pmatrixbmatrix}
</math>
と置いたとき、上の行列の幾つかの[[直和]](行列をブロックとして対角線上に並べた[[区分行列]]のこと)
:<math>
\begin{pmatrixbmatrix}
N_{n_1} & & 0 \\
& \ddots & \\
0 & & N_{n_k}
\end{pmatrixbmatrix}
</math>
を冪零行列の標準形という。ここで ''n''<sub>1</sub>, ... , ''n''<sub>''k''</sub> は与えられた自然数 ''s'' に対して ''n''<sub>1</sub> + ... + ''n''<sub>''k''</sub> = s を満たす自然数である。
標準化の対象になる ''s'' 次行列を ''M'' としたとき、&rho;<sub> ''r''</sub> = rank ''M''<sup> ''r''-1</sup> - rank ''M''<sup> ''r''</sup> と置けば、''n''<sub>''i''</sub> = ''p'' なる ''i'' の個数は全部で &rho;<sub>''p''</sub> - &rho;<sub>''p''+1</sub> 個ある。この &rho;<sub>''i''</sub> の値によって作られる冪零行列の標準形は、''n''<sub>''i''</sub> の順番を除いて一意的である。以下、&rho;<sub>''i''</sub>の値に基づく(''s''次の)標準形を ''N''[&rho;<sub>1</sub>, &hellip;, &rho;<sub>''s''</sub>] と書く。また、''M'' の次数を ''s'' とすれば、&rho;<sub>''i''</sub> の定義から直接に &sum;&rho;<sub>''i''</sub> = ''s'' となるから、次数 ''s'' における相異なる標準形の個数は、整数 ''s'' を[[整数分割|分割]]する方法の個数である。例えば、次数 4 における標準形は、
:<math>
\begin{pmatrixbmatrix}
N_4
\end{pmatrixbmatrix} ,
\begin{pmatrixbmatrix}
N_3 & 0 \\
0 & N_1
\end{pmatrixbmatrix} ,
\begin{pmatrixbmatrix}
N_2 & 0 \\
0 & N_2
\end{pmatrixbmatrix} ,
\begin{pmatrixbmatrix}
N_2 & 0 & 0 \\
0 & N_1 & 0 \\
0 & 0 & N_1 \\
\end{pmatrixbmatrix} ,
\begin{pmatrixbmatrix}
N_1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & N_1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & N_1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & N_1
\end{pmatrixbmatrix}
</math>
の 5 つである。この標準形は、それぞれ ''N''[1,1,1,1], ''N''[2,1,1,0], ''N''[2,2,0,0], ''N''[3,1,0,0], ''N''[4,0,0,0] である。一般に ''N''[1, ..., 1] = (N<sub>''s''</sub>), ''N''[''s'', 0, ..., 0] = ''O'' が成立する。
''N''<sub>''n''</sub> は、冪乗に関して次のような性質を持つ。
:<math>N_n^2 =
\begin{pmatrixbmatrix}
0 & N_{n-1} \\
0 & 0
\end{pmatrixbmatrix}
</math>
 
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