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「バーンスタイン多項式」の版間の差分

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主張が n = 1でさえ偽だったので修正、パスカルっぽく並べるほか
13行目:
（ここで <math>{n \choose \nu}</math> は[[二項係数]]）として与えられる。
 
''n'' 次のバーンスタイン基底関数は、''n'' 次以下の多項式空間であからなるベクトル空間 <math>\Pi_n</math> の基底をなす。<ref>{{cite book
|last1 = Humpherys
|first1 = Jeffrey
|last2 = Jarvis
|first2 = Tyler J.
|last3 = Evans
|first3 = Emily J.
|title = Foundations of Applied Mathematics
|year = 2017
|publisher = [[SIAM (学会)|SIAM]]
|isbn = 9781611974898
|page = {{google books quote|id=DEc3DwAAQBAJ|page=56|56}}
}}</ref>。
 
バーンスタイン基底関数の線形結合によって与えられる
23 ⟶ 35行目:
==例==
バーンスタイン基底関数は以下のような式となる。
:<math>b_\begin{0,0align}(x) = 1 \,</math>
&b_{0,0}(x) = 1 & & & & \\
 
:<math>&b_{0,1}(x) = 1-x \ & &b_{1,</math>1}(x) = x & & \\
:<math>&b_{10,2}(x) = (1-x)^2 & &b_{1,2}(x) = 2x(1-x) \& &b_{2,</math>2}(x) = x^2
\end{align}</math>
 
:<math>b_{0,2}(x) = (1-x)^2 \,</math>
:<math>b_{1,2}(x) = 2x(1-x) \,</math>
:<math>b_{2,2}(x) = x^2 \ </math>
 
==特性==
64 ⟶ 73行目:
このことは、[[各点収束]]するが[[一様収束]]はしないという命題に比べ、より強い命題である。この一様収束は、以下のように明確に示される。
 
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} \sup\sup_{0\,leq x\leq 1} \left|f(x)-B_n(f)(x)\right|:0\leq x\leq= 1\,\}=0.</math>
 
上述のように、バーンスタイン多項式は[[ストーン＝ワイエルシュトラスの定理]]の証明にも用いられる。
84 ⟶ 93行目:
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} B_n(f)(x)=f(x)</math>
が成り立つ。
 
== 注 ==
{{reflist}}
 
==関連項目==
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