「オイラーの公式」の版間の差分

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== 指数関数と三角関数 ==
実関数としての[[指数関数]] {{math|''e''{{sup|''x''}}}}, [[三角関数]] {{math|cos ''x''}}, {{math|sin ''x''}} をそれぞれ[[テイラー展開|マクローリン展開]]すると
{{numBlk|:|<math>e^x = \textstyle\sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{x^n}{n!} \quad (x \in \mathbb{R} )</math>|{{equationRef|Macl1|1}}}}
{{numBlk|:|<math>\cos x = \textstyle\sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} \, x^{2n} \quad (x \in \mathbb{R} )</math>|{{equationRef|Macl2|2}}}}
{{numBlk|:|<math>\sin x = \textstyle\sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, x^{2n+1} \quad (x \in \mathbb{R} )</math>|{{equationRef|Macl3|3}}}}
となる。これらの[[冪級数]]の[[収束半径]]が {{math|∞}} であることは、[[ダランベールの収束判定法]]によって確認することができる<ref group="注">冪級数 <math>\scriptstyle \sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n</math> の収束半径 {{mvar|R}} は、極限
:<math>\scriptstyle r=\lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|</math>
が存在すれば、{{math|''R'' {{=}} ''r''}} である。(極限が存在しない場合、収束半径はこの方法では求まらない。)
{{mvar|e{{sup|x}}}} の収束半径は
:<math>\begin{align}\scriptstyle
\lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{1/n!}{1/(n+1)!} \right|
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} (n+1) \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \infty
\end{align}</math>
となる。{{math|cos ''x''}} の収束半径は、{{math|''x''{{sup|2}}}} についての級数と考えたときの収束半径に等しい。
:<math>\begin{align} \scriptstyle
\lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{(-1)^n/(2n)!}{(-1)^{n+1}/\{ 2(n+1) \}!} \right|
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\{2(n+1)\}!}{(2n)!} \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} (2n+2)(2n+1) \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \infty
\end{align}</math>
{{math|sin ''x''}} の収束半径は、同様に
:<math>\begin{align} \scriptstyle
\lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{(-1)^n/(2n+1)!}{(-1)^{n+1}/\{ 2(n+1)+1 \}!} \right|
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{(2n+3)!}{(2n+1)!} \\ \scriptstyle
&\scriptstyle = \lim\limits_{n\to\infty} (2n+3)(2n+2) \\ \scriptstyle
&\scriptstyle =\infty
\end{align}</math>
以上で {{equationNote|Macl1|(1)}}, {{equationNote|Macl2|(2)}}, {{equationNote|Macl3|(3)}} の右辺の収束半径が {{math|∞}} であることが証明された。</ref>。従ってこれらの級数は、変数 {{mvar|x}} を複素数全体に拡張することができ、[[コンパクト一様収束|広義一様収束]]する。つまりこれらの級数によって表される関数は[[整関数]]である<ref group="注">これらは多項式でないので超越整関数であり、[[無限遠点]]を[[真性特異点]]に持つ</ref>。[[解析接続]]すると、[[一致の定理]]より、複素数全体での[[正則関数]]としての拡張は一意であり、この収束冪級数で表される。
 
ここで、 {{mvar|e{{sup|x}}}} の {{mvar|x}} を {{mvar|ix}} に置き換え、{{mvar|e{{sup|ix}}}} の冪級数が絶対収束することより級数の項の順序は任意に交換可能であることを考慮すれば
:<math>\begin{align}
e^{ix}
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{i^n}{n!} x^n \\
&= \textstyle\sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{i^{2n}}{(2n)!}x^{2n} + \sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{i^{2n+1}}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\
&= \textstyle\sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + i \sum\limits_{n=0}^{\infin} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \\
&= \cos x + i\sin x
\end{align}</math>
が得られる。
 
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、[[複素数]]の世界では密接に結びついていることを表している。例えば、三角関数の加法定理は、指数法則 {{math|''e{{sup|a}}e{{sup|b}}'' {{=}} ''e''{{sup|''a''+''b''}}}}<ref group="注">
:<math>\begin{align}\scriptstyle
e^{a+b}
&\scriptstyle = \sum\limits_{n=0}^{\infin} \frac{(a+b)^n}{n!} \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{n=0}^{\infin} \frac{1}{n!} \sum\limits_{r=0}^n \frac{n!}{r!(n-r)!} a^r b^{n-r} \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{n=0}^{\infin} \sum\limits_{r=0}^n \frac{a^r b^{n-r}}{r!(n-r)!} \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{r=0}^{\infin} \sum\limits_{n=r}^{\infin} \frac{a^r b^{n-r}}{r!(n-r)!} \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{r=0}^{\infin} \frac{a^r}{r!} \sum\limits_{n=r}^{\infin} \frac{b^{n-r}}{(n-r)!} \ (m \, \equiv \, n-r) \\
&\scriptstyle = \sum\limits_{r=0}^{\infin} \frac{a^r}{r!} \sum\limits_{m=0}^{\infin} \frac{b^m}{m!} \\
&\scriptstyle = e^a e^b \quad //
\end{align}</math></ref>に対応していることが分かる<ref name="複素関数を学ぶ人のために" />。
 
オイラーの公式により、三角関数を複素指数関数で表すことができる。余弦関数、正弦関数は
:<math>\begin{align}
\cos z &= \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}, \\
\sin z &= \frac{e^{iz} -e^{-iz}}{2i}
\end{align}</math>
となる。
 
== 証明 ==
この公式には、[[#指数関数と三角関数|上記の冪級数展開による証明]]の他にも異なる幾通りかの証明が知られている。ここにいくつかの例を挙げる。ただし、以下の[[微分]]を用いた証明については、実変数を複素数変数におき換えても、これらの議論が成立していることを、別途で証明する必要がある([[複素解析]]論)。
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