「連続 (数学)」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
編集の要約なし |
|||
53行目:
== 不連続関数 ==
* [[床関数と天井関数#床関数|ガウス記号]] {{math|[''x'']}} によって[[実数]]から実数への関数 {{math2|1=''f''(''x'') = [''x'']}} を定義しよう。この関数は、各整数の点で不連続である。この場合、関数のグラフにはギャップができる。ギャップのある不連続点を'''第一種不連続点'''という。これは正確には、{{math2|''a''+, ''a''−}} の両側に[[極限]]が存在するが、両者の極限が等しくならないようなものである。これは不連続点の中では最も連続に''近い''ものである。<!-- 導関数は連続とは限らないが、第一種不連続点が現れることはない。: 趣旨が不明。そもそも不連続点で導関数が不定なことに問題があるのでは -->
* {{math|sin{{sfrac|1|''x''}}}} は {{math2|1=''x'' = 0}} での値をどのように定めてもこの点で不連続になる。これは第一種不連続点ではない。
* {{mvar|x}} が[[有理数]]なら {{math|1}}、[[無理数]]なら {{math|0}} の値をとる関数 {{math|''d''(''x'')}} を[[ディリクレの関数]]と呼ぶ。これは {{mathbf|R}} 上の全ての点で不連続である。単純だが極端な不連続関数の例として[[積分]]論などの議論で重宝される。
| |||