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{{mvar|A}} を 成分を体 {{mathbf|𝕂}} にもつ {{mvar|m}} 行 {{mvar|n}} 列の行列を{{mvar|A}} とするとき、{{math|1=''f''('''x''') = ''A'''''x''' ('''x''' ∈ {{mathbf|𝕂}}<sup>''n''</sup>)}} は[[数ベクトル空間]] {{math|{{mathbf|𝕂}}<sup>''n''</sup>}} から {{math|{{mathbf|𝕂}}<sup>''m''</sup>}} への {{mathbf|𝕂}}-線型写像を定める。これとは逆に、{{mvar|V}} と {{mvar|W}} が有限[[次元]]のベクトル空間で、それぞれの空間の[[基底 (線型代数学)|基底]]が選ばれているならば、各ベクトルをそれらの基底に関する成分表示と同一視できるから、{{mvar|V}} から {{mvar|W}} への任意の線型写像は[[行列]]として表すことができる。このことは、具体的な計算を可能にするという点で便利である。
{{mvar|V}} の基底 {{math|{{mset|''v''<sub>1</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub>}}}} と {{mvar|W}} の基底 {{math|{{mset|''w''<sub>1</sub>, …, ''w''<sub>''m''</sub>}}}} が与えられれば、線型写像 {{math|''f'': ''V'' → ''W''}} に対して
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