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=== 無限次元ベクトル空間のノルム ===
[[数列]]（[[可算無限集合|可算無限]]次元のベクトル）{{math2|1='''''x''''' = (''x
:<math>\|\mathbf{x}\|_p := \left( \textstyle\sum\limits_{n=1}^\infty |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}</math>
や、上限ノルム、
などが定義される。また、[[関数 (数学)|関数]]を連続的な[[媒介変数|添字]]をもつ非可算無限次元のベクトルと見なせば、和を[[積分]]に置き換えて、[[高々 (数学)|高々]]可算な場合と同様に ''p''-ノルムなどを考えることができる。集合 ''X'' 上で定義される関数 ''f''(''x'') に対して ''p''-'''ノルム'''（''L
▲や、上限ノルム、∞-'''ノルム'''、''l''<sup>∞</sup>-'''ノルム'''（''l''<sub>∞</sub>-'''ノルム'''）
:<math>\|f\
▲などが定義される。また、[[関数 (数学)|関数]]を連続的な[[媒介変数|添字]]をもつ非可算無限次元のベクトルと見なせば、和を[[積分]]に置き換えて、[[高々 (数学)|高々]]可算な場合と同様に ''p''-ノルムなどを考えることができる。集合 ''X'' 上で定義される関数 ''f''(''x'') に対して ''p''-'''ノルム'''（''L''<sup>''p''</sup>-'''ノルム'''）は
:<math>\| f \|_{
▲が定義される。また ∞-'''ノルム'''（''L''<sup>∞</sup>-'''ノルム'''）が
▲:<math>\|f\|_{\infty,X} := \sup_{x\in X} |f(x)|</math>
によって定義される。ただし、[[ルベーグ積分]]を扱っている文脈では
:<math>\|f\|_{\infty,X} := \operatorname{ess.sup}_{x\in X}|f(x)| = \inf\{\alpha \mid |f(x)| \leq \alpha \mbox{ a.e.}\,x\}</math>
とする
▲とするほうが自然である。ess.sup は'''本質的上限'''と呼ばれる値である（測度零の集合における例外を除いて上界となる値の下限）。[[関数解析学]]などでは、有界線型作用素（[[連続 (数学)|連続]]な[[線型写像]]）の'''作用素ノルム''' (''operator norm'') と呼ばれるノルム
:<math>\|f\| = \sup_{x\in X} \frac{\|f(x)\|}{\|x\|}</math>
も重要である。
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