「ノルム」の版間の差分

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== 定義 ==
{{mvar|K}} を実数体 {{mathbf|R}} または複素数体 {{mathbf|C}}(あるいは絶対値を備えた任意の[[位相体]])とし、{{mvar|K}} 上のベクトル空間 {{mvar|V}} を考える。このとき任意の {{math2|''a'' ∈ ''K''}} と任意の {{math2|'''''u''''', '''''v''''' ∈ ''V''}} に対して、
# 独立性:{{math2|1={{norm|'''''v'''''}} = 0 ⇔ '''''v''' = '''0''o'''''}}
# 斉次性:{{math2|1={{norm|''{{mvar|a}}'''''v'''''}} = {{abs|''a''}}{{norm|'''''v'''''}}}}
# 劣加法性:{{math2|1={{norm|'''''u''''' + '''''v'''''}} ≤ {{norm|'''''u'''''}} + {{norm|'''''v'''''}}}}
を満たす[[関数 (数学)|関数]] {{math2|{{norm|•}}: ''V'' → '''R'''; '''''x''''' ↦ {{norm|'''''x'''''}}}} を {{mvar|V}} の'''ノルム'''と呼ぶ。ベクトル空間 {{mvar|V}} と {{mvar|V}} 上のノルム {{math|{{norm|•}}}} との組 {{math2|(''V'', {{norm|•}})}} を、ノルム {{math|{{norm|•}}}} を備えたベクトル空間あるいは簡単にノルム付きの線型空間、'''[[ノルム線型空間|ノルム空間]]'''などと呼び、紛れのおそれの無い場合はノルムを省略して単に ''{{mvar|V''}} で表す。なお、{{math2|{{norm|'''''v'''''}} ≥ 0}}(正定値性)を定義の内に含めることが多いが、この性質は以下のように定理として導くことができる。左から順に、独立性、劣加法性、斉次性を用いている。
<blockquote>
<math>{}^{\forall} v \in V, 0 = \lVert 0o \rVert = \left \Vert \left( \frac{1}{2}v + \left (-\frac{1}{2}v \right )v \right \Vert \leq \left \Vert \frac{1}{2}v \right \Vert + \left \Vert -\frac{1}{2}v \right \Vert = \left \vert \frac{1}{2} \right \vert \lVert v \rVert + \left \vert -\frac{1}{2} \right \vert \lVert v \rVert = \lVert v \rVert.</math>
</blockquote>
: ノルムのとる値の集合としては {{mathbf|R}} を、同様の条件を議論しうるもう少し一般の[[順序体]]や[[順序群]]に取り替えることもある。離散賦値などは有理整数環 {{mathbf|Z}} の加法群(に同型なアーベル群)を値群とするようなノルムである。