「フィボナッチ数」の版間の差分

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*{{math|1=''F''{{sub|''n''−1}} ''F''{{sub|''n''+1}} − ''F{{sub|n}}''{{sup|2}} = (−1){{sup|''n''}}}}
また、次の関係式が知られている。
:<math>\textstyle\sum\limits_sum_{n=1}^\infty \dfracfrac{F_n}{10^{n+1}} = \dfracfrac{1}{89}</math>
フィボナッチ数のうち[[平方数]]であるのは {{math|1=''F''{{sub|1}} = ''F''{{sub|2}} = 1}}, {{math|1=''F''{{sub|12}} = 144}} のみ (Cohn 1964)<ref>J. H. E. Cohn, On square Fibonacci numbers, ''J. London Math. Soc.'' '''39''' (1964), pp. 537–540.</ref>、[[立方数]]であるのは {{math|1=''F''{{sub|1}} = ''F''{{sub|2}} = 1}}, {{math|1=''F''{{sub|6}} = 8}} のみ (London and Finkelstein 1969)<ref>{{Citation |first1=Hymie |last1=London |first2=Raphael |last2=Finkelstein |title=On Fibonacci and Lucas numbers which are perfect powers |journal=Fibonacci Quart. |volume=7 |issue=5 |year=1969 |pages=476-481 |id=[https://www.fq.math.ca/Scanned/7-5/london-a.pdf Part1], [https://www.fq.math.ca/Scanned/7-5/london-b.pdf Part2], [https://www.fq.math.ca/Scanned/8-3/corrections.pdf Correction]}}</ref>である。フィボナッチ数のうち[[累乗数]]であるのはこれしかない (Bugeaud, Mignotte, Siksek 2006)<ref>Yann Bugeaud, Maurice Mignotte, Samir Siksek, Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations. I. Fibonacci and Lucas perfect powers. ''Ann. of Math.'' '''163'''(2006), pp.&nbsp;969–1018. [http://www-irma.u-strasbg.fr/~bugeaud/publi.html Yann Bugeaud, Publications, 2006.]</ref>。({{OEIS|A227875}})
 
[[フィボナッチ数列の逆数和]]は収束し、記号 {{mvar|ψ}} で表される。
:<math>\psi = \textstyle\sum\limits_sum_{n = 1}^\infty\displaystyle \frac{1}{F_n} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = 3.35988566 \cdots</math><ref>[https://mathworld.wolfram.com/ReciprocalFibonacciConstant.html Reciprocal Fibonacci Constant -- from Wolfram MathWorld]</ref>
 
この {{mvar|ψ}} が無理数であることは証明されているが (André-Jeannin 1989)、[[超越数]]であるかどうかは分かっていない。