「ピカール=リンデレーフの定理」の版間の差分

削除された内容 追加された内容
m編集の要約なし
42行目:
明らかに、この関数は既知の解 <math>y=\tan(t)</math> のテイラー級数展開を計算している。 <math>\tan</math> は <math>\pm\tfrac{\pi}{2}</math> に極を持つので、これは '''R''' の全てではなく、 <math>|t|<\tfrac{\pi}{ 2}</math> の場合にのみ局所解に収束する。
 
== 非一性の例 ==
解の一意性を理解するために、次のような例を考えてみよう<ref>{{cite book |first=V. I. |last=Arnold |authorlink=Vladimir Arnold |title=Ordinary Differential Equations |publisher=The MIT Press |year=1978 |isbn=0-262-51018-9 }}</ref>。微分方程式は{{仮リンク|停留点|en|Stationary point|redirect=1}}を持つことができる。例えば、方程式 {{math|{{sfrac|''dy''|''dt''}} {{=}} ''ay''}} (<math>a<0</math>) の定常解は {{math|''y''(''t'') {{=}} 0}} であり、これは初期条件 {{math|''y''(0) {{=}} 0}} で得られる。別の初期条件 {{math|''y''(0) {{=}} ''y''<sub>0</sub> ≠ 0}} から始まる解 ''y''(''t'') は停留点に向かっていくが、到達には無限時間を要するので、(全ての有限時間に対する)解の一意性が保証されている。
 
149行目:
In the end, this result shows the interval of definition of the solution does not depend on the Lipschitz constant of the field, but only on the interval of definition of the field and its maximum absolute value.
-->
 
== その他の存在定理 ==
ピカール=リンデレーフの定理は、解が存在することと、それが一意であることを示す。[[ペアノの存在定理]]は存在のみを示し、一意性は示さないが、これは {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} がリプシッツ連続ではなく、 {{mvar|y}} において連続であることのみを仮定している。例えば、方程式の右辺が {{math|{{sfrac|''dy''|''dt''}} {{=}} ''y''<sup>&thinsp;{{sfrac|1|3}}</sup>}} を初期条件 {{nowrap|1=''y''(0) = 0}} として計算すると、連続ではあるがリプシッツ連続ではない。実際、この方程式は一意ではなく、次の3つの解を持っている<ref>{{harvtxt|Coddington|Levinson|1955}}, p. 7</ref>。