「冪等」の版間の差分

数式他
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(数式他)
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[[二項演算]] "*" を備えた集合 ''S'' について、''S'' の元 ''s'' は
 
:''<math>s'' * ''s'' = ''s''</math>
 
を満たすとき("*" に関して)'''冪等'''(べきとう、{{lang|en|idempotent}})であるという。特に、任意の[[単位元|中立元]]は冪等である。''S'' の全ての元が冪等である場合には、その二項演算 "*" は冪等(演算)であるという。例えば、集合の[[合併 (集合論)|結び]]と[[共通部分 (数学)|交わり]]はどちらも冪等演算である。
=== 単項演算 ===
[[単項演算]]、つまり集合 ''X'' から ''X'' への写像 ''f'' が、''X'' のいかなる元 ''x'' についても
:''f''(''f''(''x'')) = ''f''(''x'')
 
:<math>f(f(x)) = f(x)</math>
を満たすとき、''f'' は冪等であるという。これは[[写像|写像の合成]]を "o" としたとき、''f'' o ''f'' = ''f'' が成り立つことと等価である。つまり、''X'' 上の冪等単項演算とは、''X'' からそれ自身への写像全体のなす集合 ''X''<sup>''X''</sup> における、合成 "o" に関して(上記、二項演算に対する意味で)冪等な元のことである。
 
を満たすとき、''f'' は冪等であるという。これを[[写像の合成]] ∘ で表すと
 
:<math>f \circ f = f</math>
 
を満たすき、''f'' は冪等であるという。これは[[写像|写像の合成]]を "o" としたとき、''f'' o ''f'' = ''f'' が成り立つことと等価である。つまり、''X'' 上の冪等単項演算とは、''X'' からそれ自身への写像全体のなす集合 ''X''<sup>''X''</sup> における、合成 "o" に関して(上記、二項演算に対する意味で)冪等な元のことである。
 
== 主な例 ==
 
=== 冪等なヘッダファイル ===
[[C言語]]の[[ヘッダファイル]]は冪等になるよう設計される。すなわち、あるヘッダファイルが複数回インクルードされた場合(<tt>#include</tt> の入れ子によって容易に発生する)、問題が発生しないようにして({{ill|インクルードガード|en|include guard}})、一回インクルードしたのと同じ効果をもたらすようにする。
 
=== WWW ===