「オイラーの公式」の版間の差分

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ここで {{math|''e''{{sup|'''&middot;'''}}}}<ref group="注">{{math|''e'' {{=}} 2.718281828…}} は'''[[ネイピア数]]'''と呼ばれる。</ref>は指数関数、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]、{{math|cos '''&middot;''', sin '''&middot;'''}} はそれぞれ余弦関数、正弦関数([[三角関数]])である。この等式は、任意の[[複素数]] {{mvar|θ}} に対して成り立つが、特に {{mvar|θ}} が実数である場合がよく使われる。{{mvar|θ}} が実数のとき、{{mvar|e{{sup|iθ}}}} は、[[複素数の絶対値|絶対値]] {{math|1}}, [[複素数の偏角|偏角]] {{mvar|θ}}(単位は[[ラジアン]])の複素数に等しい。
 
オイラーの公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、[[電気工学]]・[[物理学]]などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じである。物理学者の[[リチャード・ファインマン]]はこの公式を評して''「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」'' だと述べている{{sfn|リチャード・ファインマン|1977|pp=294, 307}}{{sfn|吉田武|2010}}だと述べている
公式の名前は18世紀の数学者[[レオンハルト・オイラー]]に因むが、最初の発見者は[[ロジャー・コーツ]]とされる。コーツは[[1714年]]に
 
== 概要 ==
この公式の名前は18世紀の数学者[[レオンハルト・オイラー]]に因むが、最初の発見者は[[ロジャー・コーツ]]とされる。コーツは[[1714年]]に
:<math> \log\left(\cos x + i\sin x \right)=ix \ </math>
を発見した<ref name="Stillwell">{{Cite book |author=John Stillwell |title=Mathematics and Its History |publisher=Springer |year=2002 |url=http://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315}}</ref>が、三角関数の周期性による対数関数の[[多価関数|多価性]]を見逃した。1740年頃、オイラーは、コーツの公式を基に、指数関数と三角関数の級数展開を比較することによって、オイラーの公式を証明し、1748年に発表した<ref name="Stillwell" />
 
1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった<ref name="Stillwell"/>。
 
この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、[[電気工学]]・[[物理学]]などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者の[[リチャード・ファインマン]]はこの公式を評して''「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」'' {{sfn|リチャード・ファインマン|1977|pp=294, 307}}{{sfn|吉田武|2010}}だと述べている。
 
オイラーの公式を導入することにより複素数の極形式の複素数は、よりな表導く変換することができる。すなわち、複素数の極形式 {{math2|''z'' {{=}} ''r''(cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ'')}} は {{math2|''z'' {{=}} ''re{{sup|iθ}}''}} に等しい。また、特に、{{math2|''θ'' {{=}} {{π}}}} のとき、
:<math>e^{i\pi} +1=0</math>
が導かれる。この関係式は'''[[オイラーの等式]]''' {{en|(Euler's identity)}} と呼ばれる。
 
オイラーの公式により、余弦関数および正弦関数は、[[双曲線関数]]に変換することができ表示を導く
:<math>\cos \theta = \cosh i \theta</math>
:<math>\sin \theta = \tfrac{1}{i} \sinh i \theta</math>
応用上では、オイラーの公式により三角関数を複素指数関数に置き換えることで、[[微分方程式]]や[[フーリエ級数]]などが利用しやすくなる。
 
== 指数関数と三角関数 ==