「ホモロジー代数学」の版間の差分
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[[File:SnakeLemma01.png|thumb|350px|ホモロジー代数学における基本的な結果である[[蛇の補題]]で用いられる図式。]]
'''ホモロジー代数学'''({{lang-en-short|homological algebra}})は、一般の代数的な設定のもとで[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]を研究する[[数学]]の分野である。それは比較的新しい分野であり、その起源は19世紀の終わりの、{{仮リンク|組み合わせ論的トポロジー|en|combinatorial topology}}([[代数トポロジー]]の前身)と[[抽象代数学]]([[環上の加群|加群]]や {{仮リンク|syzygy|en|Syzygy (mathematics)}} の理論)の、主に[[アンリ・ポワンカレ]]と[[ダフィット・ヒルベルト]]による研究にまでさかのぼる
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[[多項式]][[環 (数学)]]上の[[環上の加群|加群]]に関する Hilbert の仕事。
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ホモロジー代数学の発展は[[圏論]]の出現と密接に結びついている
まさにその起源から、ホモロジー代数学は代数トポロジーにおいて非常に多くの役割を果たしている
== ホモロジー代数学の歴史 ==
ホモロジー代数学は1800年代にトポロジーの1つの分野としてその最も基本的な形が研究され始めたが、[[Ext関手]]や[[Tor関手]]のような対象の研究が独立した主題になるのは1940年代になってからであった<ref name="Weber">History of Homological Algebra, by Chuck Weibel, pp.797-836 in the book The History of Topology, ed. I.M. James, Elsevier, 1999</ref>
== チェイン複体とホモロジー ==
{{main|鎖複体}}
'''[[鎖複体|チェイン複体]]''' (chain complex) はホモロジー代数学の中心的な概念である。それは[[アーベル群]]と[[群準同型]]の列 <math> (C_\bullet, d_\bullet)</math> であって、任意の2つの連続した[[写像]]の合成が 0 になるという性質をもったものである
: <math> C_\bullet: \cdots \longrightarrow
C_{n+1} \stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}
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''d''<sub>''n''+1</sub> o ''d''<sub>''n''</sub> = 0 for all ''n''.
-->
''C''<sub>''n''</sub> の元は ''n''-'''チェイン'''(''n''-chain)と呼ばれ、準同型 ''d''<sub>''n''</sub> は'''バウンダリ写像''' (boundary map) や'''微分''' (differential) と呼ばれる
: <math> B_n \subseteq Z_n \subseteq C_n. </math>
アーベル群の[[部分群]]は自動的に[[正規部分群|正規]]である
: <math> H_n(C) = Z_n/B_n = \operatorname{Ker}\, d_n/ \operatorname{Im}\, d_{n+1}. </math>
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* [[Peter Hilton]]; Stammbach, U. ''A course in homological algebra''. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 4. Springer-Verlag, New York, 1997. xii+364 pp. ISBN 0-387-94823-6
* Gelfand, Sergei I.; [[Yuri Manin]], ''Methods of homological algebra''. Translated from Russian 1988 edition. Second edition. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 pp. ISBN 3-540-43583-2
* Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, ''Homological algebra''. Translated from the 1989 Russian original by the authors. Reprint of the original English edition from the series Encyclopaedia of Mathematical Sciences (''Algebra'', V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994). Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv+222 pp. ISBN 3-540-65378-3
* {{Weibel IHA}}
{{デフォルトソート:ほもろしいたいすうかく}}
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