「ホモロジー代数学」の版間の差分

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[[File:SnakeLemma01.png|thumb|350px|ホモロジー代数学における基本的な結果である[[蛇の補題]]で用いられる図式。]]
 
'''ホモロジー代数学'''({{lang-en-short|homological algebra}})は、一般の代数的な設定のもとで[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]を研究する[[数学]]の分野である。それは比較的新しい分野であり、その起源は19世紀の終わりの、{{仮リンク|組み合わせ論的トポロジー|en|combinatorial topology}}([[代数トポロジー]]の前身)と[[抽象代数学]]([[環上の加群|加群]]や {{仮リンク|syzygy|en|Syzygy (mathematics)}} の理論)の、主に[[アンリ・ポワンカレ]]と[[ダフィット・ヒルベルト]]による研究にまでさかのぼる('''問1. ヒルベルトの仕事をすべて整理して彼の仕事の本質を論じてみなさい''')
<!--
[[多項式]][[環 (数学)]]上の[[環上の加群|加群]]に関する Hilbert の仕事。
--->
 
ホモロジー代数学の発展は[[圏論]]の出現と密接に結びついている('''問2. なぜかを熟考し一般人をも納得せしめる説明を与えよ''')。概して、ホモロジー代数はホモロジー的[[関手]]とそれから必然的に生じる複雑な代数的構造の研究である('''問3. <複雑な>は主観に依存する!いわんやこのような文で使うのは相応しくない。代替表現を与えることを試みよ''')。<!-- 一般的な科学的意味での構造 (structure) であって、普遍代数の狭い意味での代数的構造ではない-->数学においてきわめて有用で遍在する概念の1つは'''[[鎖複体|チェイン複体]]''' (chain complex) の概念であり、これはそのホモロジーと[[コホモロジー]]の両方を通じて研究できる('''問4. なぜか?熟考してみよ''')。ホモロジー代数は、これらの複体に含まれる情報を得、それを[[環 (数学)|環]]、加群、[[位相空間]]や、他の 'tangible' な数学的対象のホモロジー的[[不変量]]の形で描写する手段を提供してくれる('''問5. この甚だ不十分な言明を正当化することを試みてみよ''')。これをするための強力な手法は{{仮リンク|スペクトル系列|en|spectral sequence}}によって与えられる。
 
まさにその起源から、ホモロジー代数学は代数トポロジーにおいて非常に多くの役割を果たしている('''問6. その具体的な事例を読者は10個挙げることを課せられる。それまではここから先のテキストに進んではいけない''')。その影響の範囲は徐々に拡大しており現在では[[可換環論]]、[[代数幾何学]]、[[代数的整数論]]、[[表現論]]、[[数理物理学]]、[[作用素環論]]、[[複素解析]]、そして[[偏微分方程式]]論を含む。[[K-理論]]はホモロジー代数学の手法を利用する独立した分野であり、[[アラン・コンヌ]]の[[非可換幾何]]もそうである('''問7. その根拠を与えよ''')
 
== ホモロジー代数学の歴史 ==
ホモロジー代数学は1800年代にトポロジーの1つの分野としてその最も基本的な形が研究され始めたが、[[Ext関手]]や[[Tor関手]]のような対象の研究が独立した主題になるのは1940年代になってからであった<ref name="Weber">History of Homological Algebra, by Chuck Weibel, pp.797-836 in the book The History of Topology, ed. I.M. James, Elsevier, 1999</ref>('''問8.''' '''1930年代以前のホモロジー代数の歴史を調べなさい''')
 
== チェイン複体とホモロジー ==
{{main|鎖複体}}
'''[[鎖複体|チェイン複体]]''' (chain complex) はホモロジー代数学の中心的な概念である。それは[[アーベル群]]と[[群準同型]]の列 <math> (C_\bullet, d_\bullet)</math> であって、任意の2つの連続した[[写像]]の合成が 0 になるという性質をもったものである('''問9. この性質は一般の写像にはない!そのことを具体例を考えることにより納得するまで考えよ''')
: <math> C_\bullet: \cdots \longrightarrow
C_{n+1} \stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}
''d''<sub>''n''+1</sub> o ''d''<sub>''n''</sub> = 0 for all ''n''.
-->
''C''<sub>''n''</sub> の元は ''n''-'''チェイン'''(''n''-chain)と呼ばれ、準同型 ''d''<sub>''n''</sub> は'''バウンダリ写像''' (boundary map) や'''微分''' (differential) と呼ばれる('''問10. 微分積分学で学ぶ意味での微分との意味や概念の違いはあるかを調べなさい''')。'''チェイン群''' (chain group) ''C''<sub>''n''</sub> は余分な構造をもっているかもしれない。例えば、[[ベクトル空間]]や、固定された[[環 (数学)|環]] ''R'' 上の[[環上の加群|加群]]かもしれない。微分は余分な構造もそれが存在するならば保たなければならない('''問11. 積分についてはどうか。積分をホモロジー代数の範疇で定義し、余分な構造があるか考察し、さらにリーマン積分とルベーグ積分との関連を明らかにしなさい。いわんやをやスチェルチェス積分との関係はどうか''')。例えば、[[線型写像]]や ''R''-加群の準同型でなければならない。表記の都合のため、アーベル群(より正確には、アーベル群の[[圏]] '''Ab''')に注意を制限しよう('''問12. 以下読者はアーベル群以外にも注意を向けてテキストを読むことが課せられる''')。{{仮リンク|Mitchell の埋め込み定理|label=Barry Mitchell による名高い定理|en|Mitchell's embedding theorem}}によって、結果は任意の[[アーベル圏]]に一般化される('''問13. このことを確認せよ''')。すべてのチェイン複体はさらに2つのアーベル群の列を定義する('''問14. 確認せよ。また、実際に列の定義を明確にせよ''')。'''サイクル''' (cycle) ''Z''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;Ker ''d''<sub>''n''</sub> と'''バウンダリ''' (boundary) ''B''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;Im ''d''<sub>''n''+1</sub> である。ただし Ker&nbsp;''d'' と Im&nbsp;''d'' は ''d'' の[[核 (代数学)|核]]と[[像 (数学)|像]]を表す。2つの連続するバウンダリ写像の合成は 0 なので、これらの群は互いの中に次のように埋め込まれている。
 
: <math> B_n \subseteq Z_n \subseteq C_n. </math>
 
アーベル群の[[部分群]]は自動的に[[正規部分群|正規]]である('''問15. 非数学専攻者にもわかるよう次の日常的な語をすべて使ってこのことを例えよ。数学用語は使ってはならない:「冷蔵庫、結婚式、スイカ、カマキリ、カレンダー」''')。したがって、''n'' 次 '''ホモロジー群''' (''n''th homology group) ''H''<sub>''n''</sub>(''C'') を ''n''-サイクルの ''n''-バウンダリによる[[商群]]
 
: <math> H_n(C) = Z_n/B_n = \operatorname{Ker}\, d_n/ \operatorname{Im}\, d_{n+1}. </math>
* [[Peter Hilton]]; Stammbach, U. ''A course in homological algebra''. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 4. Springer-Verlag, New York, 1997. xii+364 pp. ISBN 0-387-94823-6
* Gelfand, Sergei I.; [[Yuri Manin]], ''Methods of homological algebra''. Translated from Russian 1988 edition. Second edition. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 pp. ISBN 3-540-43583-2
* Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, ''Homological algebra''. Translated from the 1989 Russian original by the authors. Reprint of the original English edition from the series Encyclopaedia of Mathematical Sciences (''Algebra'', V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994). Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv+222 pp. ISBN 3-540-65378-3
* {{Weibel IHA}}
{{デフォルトソート:ほもろしいたいすうかく}}
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