「真近点角」の版間の差分

真近点離角 ''f'' は、主星と軌道の[[近点・遠点|近点]]がなす半直線 (つまり[[ルンゲ＝レンツベクトル|ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル]]) と主星と天体を結ぶ半直線 (つまり[[位置|位置ベクトル]]) がなす角として定義される。つまり、左図において''p'' を天体の位置、''z'' を近点、''s'' を焦点 (主星の位置) としたときの角 <math>\nu = \angle zsp</math> のことを言う。従って、主星と天体の距離 ''r'' は、真近点離角 ''f''<math>\nu</math> の関数として

:<math>r = \frac{ a ( 1 - e^2 ) }{ 1 + e \cos f\nu }</math>

真近点角はその時間依存性および動径 ''r'' との関係がともに複雑であるため、種々の計算の際には[[離心近点角]] ''E'' を用いる方が便利である。これは真近点角 ''f\nu'' と

:<math>\tan \frac{ f\nu }{ 2 } = \sqrt{ \frac{ 1 + e }{ 1 - e } } \tan \frac{ E }{ 2 }</math>

:<math>f\nu = E + \sum_{s = 1}^\infty \frac{ 2 }{ s } \beta^s \sin s E = E + 2 \left( \beta \sin E + \frac{ \beta^2 }{ 2 } \sin 2 E + \frac{ \beta^3 }{ 3 } \sin 3 E + \frac{ \beta^4 }{ 4 } \sin 4 E + \cdots \right)</math>

という級数の形に書き直すことができる<ref>Brouwer & Clemence, ''Methods of Celestial Mechanics'', Academic Press, New York and London, 1961, {{ISBN2|978-1483212357}}. pp. 62-63.</ref>。この級数により、天体の離心近点角 ''E'' が求まっているならば真近点角 ''f\nu'' を計算することができる。

あるいは、離心近点角 ''E'' と[[平均近点角]] ''M'' の関係は[[ケプラーの方程式|ケプラー方程式]]を解くことにより求まるが、それを真近点角 ''f''<math>\nu</math> と平均近点角 ''M'' による[[フーリエ級数]]表示に書き直すと

:<math>f\begin{align}\nu& = M + 2 e \sin M + \frac{ 5 }{ 4 } e^2 \sin 2 M + e^3 \left( \frac{ 13 }{ 12 } \sin 3 M - \frac{ 1 }{ 4 } \sin M \right)\\

&+ e^4 \left( \frac{ 103 }{ 96 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right)\\

&+ e^5 \left( \frac{ 1097 }{ 960 } \sin 5 M - \frac{ 43 }{ 64 } \sin 3 M + \frac{ 5 }{ 96 } \sin M \right)\\

&+ e^6 \left( \frac{ 1223 }{ 960 } \sin 6 M - \frac{ 451 }{ 480 } \sin 4 M - \frac{ 11 }{ 24 } \sin 2 M \right) + \cdots</math>