「ブラ-ケット記法」の版間の差分

「誤解されているブラケット」の話と、波動関数との関係について加筆
(「誤解されているブラケット」の話と、波動関数との関係について加筆)
'''ブラ-ケット記法'''(ブラ-ケットきほう、{{lang-en-short|bra-ket notation}})は、[[量子力学]]における[[量子状態]]を記述するための標準的な記法である。
 
この名称は、2つの状態の[[内積]]が[[括弧#山括弧〈〉|'''ブラケット''']]を用いて {{math|{{bra-ket|''&phi;''|''&psi;''}}}} のように表され、この左半分 {{math|{{bra|''&phi;''}}}} を'''ブラ'''[[ベクトル空間|ベクトル]]、右半分 {{math|{{ket|''&psi;''}}}} を'''ケット'''ベクトルと呼ぶことによる。この記法は[[ポール・ディラック]]が発明した<ref name=dirac>{{cite|和書|author=P. Dirac |translator=朝永振一郎 他 |title=量子力学 原著第4版 |publisher=岩波書店 |year=1968 }}</ref>ため、'''ディラックの記法'''とも呼ぶ。
 
ブラの[[随伴作用素|随伴]]はケット、ケットの[[随伴作用素|随伴]]はブラである。
 
:<math>\langle \psi |^{\dagger} = | \psi \rangle , \quad | \psi \rangle^{\dagger} = \langle \psi |</math>
 
また、ある[[状態ベクトル|状態]] <math>| \psi \rangle</math> において、[[可観測量]] <math>\hat{O}</math> の期待値 <math>\langle O \rangle</math>は演算子をブラとケットで挟んだものである。
 
:<math>\langle O \rangle = \langle \psi | \hat{O} | \psi \rangle</math>
 
初学者向けの説明として、ケットは[[列ベクトル]]、ブラは行ベクトルに対応させる場合がある([[行列表示]]を参照)。
 
この記法の利点として
* [[基底 (線型代数学)|基底]]に依存しない記述が可能
* 固有値が離散、連続どちらの場合も統一的に扱える
* 中身の書き方を自由に工夫して記述できる(パラメータだけを並べて [[量子数|{{math|{{ket|''n, l, m''}}}}]] としたり、[[シュレーディンガーの猫|{{math|{{ket|生きている猫}}}}]] と書くこともできる)
などがある<ref name=kitano2012/><ref name=kitano2013/>。
 
この記法は内積記号の変形、特に関数の内積を短く書ける簡略記法であると理解されることが多いが、これは誤解であるという指摘がある<ref name=kitano2012>北野正雄、誤解されているブラケット―共役演算子をめぐって https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/173934/1/Butsuri_68(4)_239.pdf</ref><ref name=kitano2013>北野正雄 ブラケット記法の機微―双対構造と内積構造 http://www.sceng.kochi-tech.ac.jp/koban/quatuo/lib/exe/fetch.php?media=2012:kitano2.pdf</ref>。ディラックの本来の説明によればケット {{math|{{ket|''&psi;''}}}} の空間においてブラ {{math|{{bra|''&phi;''}}}} は[[線形汎関数]]を表す、すなわちブラは[[双対空間]]に属している。この立場からは内積の有無にかかわらずブラケットは定義できるため、これらに直接的な関係はないものとされる。
 
== 正規直交基底とブラケット記法 ==
[[正規直交系|正規直交基底]]のうち2つのラベルを {{Mvar|&alpha;, &beta;}} として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底では[[クロネッカーのデルタ]]を用いて
:<math>\langle\alpha|\beta\rangle = \delta_{\alpha, \beta},</math>
 
:<math>\langle\alpha|\beta\rangle = \delta_{\alpha, \beta}</math>
 
連続基底では[[デルタ関数]]を用いて
 
:<math>\langle\alpha|\beta\rangle = \delta (\alpha - \beta)</math>
 
となる。
 
:<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle=a^\dagger_\beta a^\dagger_\alpha |0\rangle=|\beta\alpha\rangle</math>
となり、対称化されている。
 
== 波動関数との関係 ==
ケット {{math|{{ket|''&psi;''}}}} と、(位置表示の)[[波動関数]] {{math|''&psi;''(''x'')}} の関係は以下のように表される<ref>{{cite|和書 |editor= |author=北野正雄 |title=量子力学の基礎 |edition= |publisher=共立出版 |year=2010 |isbn=978-4-320-03462-4 |pages=95-96}}</ref>。
:<math>\psi(x) = \langle x|\psi\rangle,\quad
|\psi\rangle = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x\ \psi(x)\ |x\rangle</math>
ただし、位置を表す演算子 <math>\hat{x}</math> の固有値を {{math|''x''}} 、対応する固有ケットを {{math|{{ket|''x''}}}} とする;<math>\hat{x}|x\rangle=x|x\rangle</math>。
 
== 脚注 ==
 
== 関連項目 ==
* [[量子力学の数学的定式化#ブラベクトルとケットベクトル]]
* [[行列表示]]